Derivování složených exponenciálních funkcí

Klasickým příkladem na derivování implicitních funkcí je příklad y se rovná x na x s tím, že máme spočítat derivaci y podle x. Hodně lidí vyděsí, že máme x na exponent, který není konstantní, takže nejde použít pravidlo o mocnině. Jak to spočítat? Trikem je na obě strany rovnice použít přirozený logaritmus. Tohle je taková příprava k tomu, co bude později v tomto videu. Když na obě strany rovnice aplikujeme přirozený logaritmus, dostaneme, že přirozený logaritmus z y se rovná přirozenému logaritmu z (x na x). Teď přijdou na řadu vzorce pro mocniny, nebo spíše pro logaritmy. Když mám přirozený logaritmus z něčeho na něco, tak je to totéž co... Přirozený logaritmus z (x na x) lze zapsat jako x krát přirozený logaritmus z x. Celé to tedy přepíšu. Když na obě strany rovnice použiji přirozený logaritmus, dostanu, že přirozený logaritmus z y se rovná x krát přirozený logaritmus z x. Teď můžeme zderivovat obě strany téhle rovnice podle x. Derivace podle x z tohoto a potom derivace podle x z tohohle. Nyní použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Jaká je derivace tohoto podle x? Jaká je derivace našeho vnitřního výrazu podle x? Jde o implicitní derivování. Bude to dy podle x krát derivace tohoto celého podle této vnitřní funkce. Derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x. Derivace přirozeného logaritmu z y podle y je 1 lomeno y, takže krát (1 lomeno y). Tohle se rovná... K derivaci tohohle použijeme pravidlo pro derivaci součinu. Vyberu si na to nějakou libovolnou jinou barvou. Bude to derivace prvního členu, což je 1, krát druhý člen, takže krát přirozený logaritmus z x, plus derivace druhého členu, což je 1 lomeno x, vynásobená prvním členem, tedy krát x. Z toho dostaneme, že (dy lomeno dx) krát (1 lomeno y) se rovná přirozený logaritmus z x plus... Tohle je 1, že? Je to x děleno x. Nyní obě strany vynásobíme y, čímž dostaneme, že dy lomeno dx se rovná y krát (přirozený logaritmus z x plus 1). Pokud se vám tu tohle y nelíbí, můžete za něj dosadit, protože y se rovná x na x. Můžeme tedy říct, že derivace y podle x se rovná (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1). Je to zábavný příklad. Často se udává jako trikový nebo i jako bonusový příklad, pokud lidé nevědí, že mají na obě strany použít přirozený logaritmus, ale máme tu ještě těžší příklad, který půjdeme vyřešit právě teď. Je ale dobře, že jsme nejdřív vyřešili tento příklad, protože z něj můžeme vyjít. Zadání onoho těžšího příkladu, který budeme řešit, zní následovně. Zapíšu to. Zadání příkladu zní, že y se rovná x na... Teď přijde to hlavní. ...x na (x na x) a my máme spočítat dy lomeno dx. Máme tedy spočítat derivaci y podle x. V tomto příkladu budeme v zásadě postupovat stejně. Použijeme přirozený logaritmus, abychom se zbavili tohoto exponentu, a dostali se k něčemu, s čím umíme zacházet, načež použijeme pravidlo o součinu. Na obě strany rovnice tedy použijme přirozený logaritmus jako minule. Vyjde nám, že přirozený logaritmus z y se rovná ln(x na (x na x)). Tohle celé je exponent, na který mocníme x, takže tohle můžeme přepsat jako (x na x) krát přirozený logaritmus z x. Náš výraz, nebo spíše naše rovnice, teď má tvar přirozený logaritmus z y se rovná (x na x) krát přirozený logaritmus z x. Stále tady však máme to ošklivé x na x a neznáme žádný jednoduchý způsob, jak to zderivovat, i když jsem vám vlastně před chvílí ukázal, jak tohle zderivovat, takže toho můžeme rovnou využít. Chtěl jsem znovu použít přirozený logaritmus, načež bych dostal velkou a trochu matoucí rovnici, ale uvědomil jsem si, že v tomhle videu už jsme derivaci z (x na x) spočítali. Máme to tady. Je to tento bláznivý výraz. Musíme si to jen pamatovat, použít to a dořešit tak tento příklad. Pojďme tedy dořešit náš příklad. Kdybychom tohle předtím nespočítali... Máme teď nečekanou výhodu, protože jsme vyřešili jednodušší verzi příkladu. ...tak bychom mohli opět použít přirozený logaritmus, ale bylo by to o něco nepřehlednější. Když už ale víme, jaká je derivace x na x, tak toho využijme. Zderivujme tedy obě strany téhle rovnice. Derivace tohoto se rovná této derivaci. Tohohle si zatím nebudeme všímat. Derivace tohoto podle x je derivace přirozeného logaritmu z y podle y, tedy 1 lomeno y, krát derivace y podle x. To je jen derivace složené funkce, naučili jsme se to u derivování implicitních funkcí. Toto se rovná derivaci prvního členu vynásobené druhým členem... Rozepíšu to pořádně, protože nechci přeskakovat kroky a mást tím lidi. Toto se tedy rovná derivaci podle x z (x na x) krát přirozený logaritmus z x plus derivace podle x z přirozeného logaritmu z x vynásobená (x na x). Zaměřme se teď na pravou stranu naší rovnice. Čemu se rovná derivace z (x na x) podle x? Tento příklad už jsme před chvílí spočítali. Je to (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1). Takže tato část... Udělám to jinou barvou. ...tato část... Už jsem zapomněl, jak to bylo. Bylo to (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1). ...tohle je (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1), což teď musíme vynásobit přirozeným logaritmem z x. K tomuhle přičteme derivaci přirozeného logaritmu z x, takže plus... Derivace přirozeného logaritmu z x je poměrně přímočará, je to 1 lomeno x, tohle krát (x na x). Na levé straně rovnice bude jen (1 lomeno y) krát (dy lomeno dx). Teď můžeme obě strany rovnice vynásobit y, čímž dostaneme, že dy lomeno dx se rovná y krát celá tahle šílená věc: (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1) krát přirozený logaritmus z x plus (1 lomeno x) krát (x na x). Tohle je x na minus prvou. Tohle můžeme napsat jako x na minus prvou a pak můžeme sečíst exponenty, takže sem můžeme napsat x na (x minus 1). Pokud se nám tu nelíbí toto y, můžeme za něj dosadit. y se rovná tomuto, téhle šílenosti. Naše konečná odpověď na tento zdánlivě... Na jednu stranu to vypadá jako jednoduchý příklad, na druhou stranu když si uvědomíte, co nám to říká, tak je to velmi složitý příklad. Spočítali jsme, že derivace y podle x je y, což je tohle, takže to dosadíme... Je to x na (x na x) krát toto celé, tedy krát... Napíšu to zeleně. ...krát (x na x) krát (přirozený logaritmus z x plus 1) krát přirozený logaritmus z x a k tomu celému přičteme x na (x minus 1). Kdo by si to pomyslel? Občas je matematika elegantní. Zderivujete něco takového a dostanete něco pěkného. Například když zderivujete přirozený logaritmus z x, dostanete 1 lomeno x, což je jednoduché a elegantní a je hezké, že to tak matematicky vyšlo, ale někdy něco uděláte, použijete nějakou operaci na něco, co vypadá jednoduše a elegantně, a vyjde vám něco strašného, co nevypadá hezky. Tohle je ale poměrně zajímavý příklad. A je hotovo.