Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (23/23) · 8:44

Pravidlo součinu a řetízkové pravidlo - příklad 2 Další příklad na procvičení derivace u složitější funkce. Nyní si vyzkoušíme logaritmus logaritmu umocněného na 'x'.

Navazuje na Derivace funkce.
Je dáno, že y se rovná (logaritmu x) na x a my chceme zjistit, jaká je derivace tohoto podle x. Doporučuji vám pozastavit video a vyzkoušet, jestli to dokážete vyřešit sami. Když se to poprvé snažíte vyřešit, je to trochu děsivé. Víme, jak zderivovat konstanty umocněné na nějaké x, ale jak vyřešíme derivaci nějaké funkce, v tomto případě funkce logaritmus x umocněné na x? Řešením je využít logaritmických vlastností a potom budeme trošku derivovat. Nejdříve uděláme... Přepíšu to, abych tu měl více místa, tohle je (logaritmus x) na x. Nejdříve se tedy chci zbavit tohoto x v exponentu, abych pak mohl nějak použít pravidlo součinu. A jak to uděláme? Zlogaritmujeme obě strany. A můžete si říkat, proč je to tedy tak užitečné? Když logaritmuji něco umocněné na nějaký exponent, je to to samé jako... Jen to zapíšu, je to něco, co si můžete pamatovat z našich logaritmikých vlastností. Když mám... Mohl bych napsat logaritmus, napíšu logaritmus. Když mám logaritmus (a na b), je to to samé jako b krát logaritmus a. Je to běžná logaritmická vlastnost. Když tedy zlogaritmujeme obě strany, exponent se posune dopředu a bude násobit náš logaritmus. Tento exponent tedy můžeme přenést dopředu a celé to přepíšeme. Dostaneme logaritmus y se rovná... Dám to do závorek. Máme tedy logaritmus y se rovná x... To x je modře, x krát logaritmus z logaritmu x. X krát logaritmus z logaritmu x. A tady to máme. Jen jsme zlogaritmovali obě strany a použili vlastnosti logaritmů, abychom dostali toto. A teď si jistě říkáte, jak nám to vlastně pomůže? Teď můžeme zderivovat obě strany tohoto. Tohle si vyříznu a dám napravo, abychom měli místo na derivaci. Tady to máme přesunuté. A teď pojďme zderivovat podle x obě strany. Zderivuji tedy levou stranu podle x a pravou stranu podle x. Na levé straně to bude v podstatě jen aplikace řetízkového pravidla. Když se učíte implicitní derivaci, je to prostě jen o použití řetízkového pravidla. Je to derivace vnější funkce podle vnitřní, takže logaritmus y podle y. Derivace tohoto je 1/y, 1/y krát derivace vnitřní funkce podle x. Takže dy/dx. Což se bude rovnat... Tady to začíná být o něco zajímavější. Ještě si na téhle straně něco upravím. Nejdříve tady použiji pravidlo součinu. Je to derivace prvního členu, což je 1, krát druhý člen, najspíš byste ho nazvali funkcí, takže krát logaritmus z logaritmu x. A potom plus první člen, jenom x, krát derivace druhého členu. Jaká je derivace logaritmu z logaritmu x? Uděláme si to zvlášť. Když chci zderivovat podle x logaritmus z logaritmu x, můžu na to opět použít řetízkové pravidlo. Derivace této červené funkce podle vnitřní funkce, to se rovná 1/(logaritmus x), a pak krát derivace vnitřní funkce podle x, takže krát 1/x. Toto se rovná 1/(x krát logaritmus x). Derivace tohoto druhého členu je tedy 1/(x krát logaritmus x). Podívejte, tohle x a tohle x se navzájem vyruší, takže nám zbyde 1/y, napíšu to celé touto modrou barvou, takže 1/y krát derivace y podle x se rovná... Tohle je logaritmus z logaritmu x, plus 1/(logaritmus x) A abychom mohli derivaci vyřešit, vynásobíme obě strany krát y, pojďme to udělat. Vynásobíme tuto stranu krát y a tuto stranu vynásobíme krát y. A co dostaneme? Na levé straně, proto jsme to celé násobili y, nám zbyde, že derivace y podle x se rovná... y jsme tady měli původně, původně jsme tu měli y. y se rovnalo logaritmu... Přepíšu to ještě sem. y se rovnalo (logaritmu z x) na x. Takže tohle je... Vlastně násobíme obě strany krát (logaritmus x) na x. Tohle bude trošku nepřehledné. Mohli bychom to napsat, jak jsem to napsal teď, bez roznásobování. Vlastně, necháme to takhle. Takže to bude... zasloužilo by si to víření bubnů, protože je to celkem složité. Logaritmus z logaritmu x plus 1/(logaritmus x), to celé krát (logaritmus x) na x. To bylo celkem složité. A kdyby se někdo ptal, jaká je derivace y, když x je rovno e? Takže když se někdo ptá, čemu se tohle rovná, když x se rovná e, mohli bychom to spočítat, když x se rovná e. Tohle je tedy... tuhle otázku jsem si teď vymyslel. kdyby původní otázka nebyla, jaké je dy/dx, ale kdyby se ptali, jaké je dy/dx, když x se rovná e. Kdyby tohle byla původní otázka, pak bychom to mohli spočítat. Teď tedy všechna x nahradíme e. Tady bude e, tady je e, tady je e. A tady také e. Vybral jsem hodnotu e, protože se jednoduše vyhodnocuje. Logaritmus e je 1, (logaritmus 1) na 0 je 1, takže toto celé je 0. Logaritmus e je 1, takže tento celý výraz je 0 plus 1/1, což je celkem 1. A dále logaritmus e je 1, takže máme 1 na e. A když umocníme 1 na cokoliv, vždy dostaneme 1. A 1 krát 1 se rovná 1. Jen jsem si říkal, že by byla zábava, zkusit to spočítat s hodnotou, se kterou by to bylo poněkud jasnější.
video