Derivování celočíselných mocnin (kladné i záporné)

Máme funkci g(x), která je rovna 2/x³ minus 1/x². Chceme vypočítat první derivaci funkce g a chci také zjistit její hodnoty, v bodě x se rovná 2. Takže chci zjistit toto a také, jaká bude hodnota, když se x bude rovnat 2. Chceme tedy zjistit směrnici tečny grafu funkce g v bodě x rovná se 2. Jako pokaždé si zastavte video a zkuste si příklad vyřešit sami, předtím než si ho rozebereme. Dám vám nějaké rady. K vyřešení příkladu potřebujete znát pouze pravidlo pro derivaci polynomu, základní vlastnosti mocnin a základní vlastnosti derivací. Pojďme to teď vyřešit spolu. Pouze to přepíšu. g(x) se rovná tomuto prvnímu členu, 2/x³, který se dá přepsat jako 2x⁻³. Víme, že 1/xⁿ se rovná x⁻ⁿ. Teď, když jsem to přepsal, by mohlo být jasnější, proč potřebujeme pravidlo o derivaci polynomu. Dále máme minus a poté 1/x², což je stejné jako x⁻². Teď zderivujeme obě strany podle x. dx, podle x, na levé straně, taky to uděláme na pravé straně. Na levé straně po derivaci podle x dostaneme g′(x), to se bude rovnat... Derivace tohoto prvního členu, tohoto zeleného, na to použijeme pravidlo pro derivaci polynomu. Vezmeme tento exponent a vynásobíme jím tento koeficient. Napíšu to. To bude... Bude se to rovnat... To bude 2 krát -3 krát x a teď budeme snižovat mocninu. Tady pozor, protože se může zdát, že 3 minus jedna jsou 2, takže tohle bude x⁻². Ale nezapomeňte, odčítáme. Takže pokud máme -3 a odečteme 1, dostaneme -4. Dostaneme tedy x⁻⁴. Takže 2 krát -3x⁻⁴, což můžeme přepsat jako -6x⁻⁴. Minus další člen, který upravíme stejným způsobem. Vezmeme těchto -2, vynásobíme jimi koeficient, který je zde implicitně 1. Tudíž dostaneme -2 krát 1, tedy -2. A poté x na -2 minus 1, tedy -3. Toto tedy můžeme přepsat jako g′(x) rovná se -6x⁻⁴, a teď odečítáme záporné, takže plus 2x⁻³. Tento zápor se vyruší s tímto, odečítání záporného čísla je jako přičítání kladného. První část hotová. Vyjádřili jsme g′(x) jako funkci proměnné x. Teď vyčíslíme funkci g′(2). Takže g′(2) se bude rovnat -6 krát 2⁻⁴ plus 2 krát 2⁻³. Kolik se to bude rovnat? To je stejné jako -6/2⁴ plus 2/2³. A to se rovná -6/16 plus 2/8. Přepíšeme si všechno na společného jmenovatele. Toto bych mohl přepsat jako 1/4, ale pak by to nevyšlo tady. Společný jmenovatel tedy bude 8. Toto jsou tedy -3/8. Takže dostaneme -3/8 plus 2/8, to je rovno -1/8. Směrnice tečny grafu funkce g(x) v bodě x rovná se 2 je tedy -1/8.