Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (12/23) · 4:56

Derivace inverzního sinu Na základě znalosti derivace sinu a goniometrických vzorců si odvodíme, jaký je vzorec pro derivaci arcus sinus.

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu bych rád prozkoumal, jaká je derivace y podle x, pokud y se rovná inverznímu sinu x. A jako vždy vám doporučuji, abyste si pozastavili video a zkusili to vyřešit sami. Dám vám dvě nápovědy. První: nevíme sice, kolik je derivace inverzního sinu x, ale víme, čemu se rovná derivace sinu něčeho. Zkuste to přeskupit a použít nějakou obyčejnou diferenciální rovnici, abyste zjistili, co je dy a dx. Pamatujte, že tohle, dy lomeno dx, to je náš cíl, když chceme zjistit derivaci tohoto podle x. Předpokládám, že jste to promysleli, pojďme to spočítat společně. Když y je inverzní sinus x, je to jako když řekneme, že je to sinus y. Sinus y se rovná x. A toto už je nám více povědomé. Teď můžeme řešit obyčejnou diferenciální rovnici. Spočítáme si derivaci obou stran podle x. Takže derivace levé strany podle x a derivace pravé strany podle x. A čemu se rovná derivace levé strany podle x? Použijeme řetízkové pravidlo. Je to derivace sinu y podle y. Což se rovná kosinus y krát derivace y podle x, neboli krát (dy lomeno dx). A na pravé straně, jaká je derivace x podle x, to se rovná 1. Teď to můžeme vyřešit pro dy lomeno dx, vydělíme obě strany kosinem y. A dostaneme, že derivace y podle x se rovná 1 lomeno kosinus y. Ale tohle stále není úplně ono, ještě tu máme derivaci pro y. Pojďme se podívat, jestli toto můžeme vyjádřit jinak pro x. Jak to můžeme udělat? Už víme, že x se rovná sinus y. Jen to přepíšu. X se rovná sinus y. Když přepíšeme tento spodní výraz, místo kosinu y... Použijeme trigonometrické funkce, abychom to přepsali jako sinus y, pak budeme spokojení, protože x se rovná sinus y. A jak to uděláme? Víme z trigonometrie, že sinus na druhou y plus kosinus na druhou y se rovná 1. A pokud to řešíme pro kosinus y, odečteme sinus y od obou stran. Víme, že kosinus na druhou y se rovná 1 minus sinus na druhou y. Což je stejné jako kosinus y, vezmeme odmocniny obou stran, se rovná odmocnina z (1 minus sinus na druhou y). Můžeme to tedy přepsat jako 1 lomeno… a místo kosinu y napíšeme 1 minus sinus na druhou y. A proč to potřebujeme přepsat? Sinus y je x. Toto je tedy stejné jako… Kdybychom to nahradili zpátky… Zapíšu to, ať je to trošku jasnější. Mohl jsem to zapsat jako sinus y na druhou. Víme, že toto je x. Takže toto se rovná… Chtělo by to víření bubnů. Rovná se to 1 lomeno odmocnina z 1 minus… a namísto sinus y, víme, že x je rovno sinu y. takže 1 minus x na druhou. A tak se to tady vzalo. Derivace inverzního sinu x podle x se rovná 1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Ještě jednou to objasním. Kdybyste derivovali podle x na obou stranách, dostali byste, že dy lomeno dx se rovná tomuto na pravé straně. Nebo můžeme říct, že derivace inverzního sinu x podle x se rovná 1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). A tohle si můžete vždycky připomenout, když zapomenete, vlastně je to nejlepší způsob, jak si to opravdu zapamatovat. Ale i tohle je dobré znát, obzvlášť když budeme dělat kalkulus více a více, můžete pak spatřit tento výraz a jen si řeknete: vida, tohle je derivace inverzního sinu x, což může být mnohdy užitečné.
video