Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (19/23) · 5:15

Podílové pravidlo odvozené ze součinového Již víme, jak derivovat součin, teď si odvodíme vzoreček pro podíl. Tato dvě pravidla jsou navíc provázaná, ukážeme si jak.

Navazuje na Derivace funkce.
Už víme, že součinové pravidlo říká, že pokud máme součin dvou funkcí, řekněmě f(x) a g(x), a chceme jej zderivovat, bude to derivace první funkce, f'(x), krát druhá funkce, krát g(x), plus první funkce, kterou nederivujeme, takže plus f(x), krát derivace druhé funkce. Máme dva výrazy, v každém z nich derivujeme jednu funkci a druhou ne, a pak se to prohodí. Tady máme derivaci f, ale ne g. Tady derivaci g, ale ne f. Tolik k malému opakování pravidla součinu. Teď pravidlo součinu využijeme pro to, čemu učebnice říkají podílové pravidlo. Mně se to úplně nelíbí. Když jej znáte, některé operace to možná urychlí, ale vychází přímo z pravidla součinu. Já osobně podílové pravidlo vždycky zapomenu a odvozuji si ho ze součinového. O co tedy jde. Představme si výraz zapsaný jako f(x) děleno g(x). A chceme určit jeho derivaci. Derivace f(x) lomeno g(x). Důležité je si uvědomit, že je to stejné jako derivace… Místo f(x) lomeno g(x) můžeme napsat f(x) krát g(x) na -1. g(x)⁻¹. A nyní můžeme využít pravidlo součinu spolu s řetízkovým pravidlem. Čemu se to bude rovnat? Prostě použijeme pravidlo součinu. Jde o derivaci první funkce, tedy f'(x), krát druhá funkce, což je g(x) na -1, plus první funkce, což je jen f(x), krát derivace druhé funkce. A tady musíme použít řetízkové pravidlo. Derivace vnější funkce, kterou můžeme vnímat jako derivaci něčeho na -1 podle toho něčeho. A to bude -1 krát to něco, což je v tomto případě g(x), na -2. A pak musíme zderivovat vnitřní funkci podle x, což je prostě g'(x). A máme to. Spočítali jsme tuto derivaci pomocí součinového a řetízkového pravidla. Toto ale není ve tvaru, který uvidíte, když budete probírat podílové pravidlo ve své učebnici. Podívejme se, jestli to můžeme zjednodušit. Toto celé bude rovno… Tento výraz můžeme zapsat jako f'(x) lomeno g(x). f'(x) lomeno g(x). A toto můžeme zapsat jako… Můžeme dát toto minus dopředu. Dostaneme -f(x) krát g'(x). Krát g'(x). A pak to celé lomeno g(x)². Napíšu to trochu lépe. To celé lomeno g(x)². A tohle ještě stále není ve tvaru, který obyčejně najdete v učebnici. Aby to tak bylo, musíme ještě sečíst tyto dva zlomky. Vynásobme tedy tento čitatel a jmenovatel g(x), abychom měli všude g(x)² ve jmenovateli. Když tedy vynásobíme čitatel g(x), dostaneme g(x) tady a ve jmenovateli bude g(x)². A teď můžeme sčítat. Dostaneme tedy, že derivace f(x) lomeno g(x) je rovna derivaci f(x) krát g(x) minus, už ne plus, napíšu to bílou, minus f(x) krát g'(x), to celé lomeno g(x)². Takže ještě jednou, toto si vždy můžete odvodit ze součinového a řetízkového pravidla. Někdy se může hodit si toto pamatovat, abychom některé příklady v tomto tvaru vyřešili rychleji. A když se podíváme na to, čím se liší pravidlo součinové a podílové, tady je to derivace jedné funkce krát druhá funkce, ale místo přičítání derivace druhé funkce krát první funkce to teď odčítáme. A celé je to ještě lomeno druhou funkcí na druhou. Cokoli bylo ve jmenovateli, je teď na druhou. Takže když derivujeme tuto funkci a jmenovatel, tady je odčítání a celé je to ještě lomeno druhou funkcí na druhou.
video