Pravidlo pro derivaci podílu odvozené z pravidla pro derivaci součinu a pravidla pro derivaci složené funkce

Už víme, jak zní součinové pravidlo. Pokud máme součin dvou funkcí, řekněme f(x) a g(x), a chceme jej zderivovat, bude to derivace první funkce, f s čárkou (x), krát druhá funkce, krát g(x), plus první funkce, kterou nederivujeme, takže plus f(x), krát derivace druhé funkce. Máme dva výrazy, v každém z nich derivujeme jednu funkci a druhou ne, a pak se to prohodí. Tady máme derivaci f, ale ne g. Tady derivaci g, ale ne f. Tolik k malému opakování pravidla součinu. Teď pravidlo součinu využijeme pro to, čemu učebnice říkají podílové pravidlo. Mně se to úplně nelíbí. Když jej znáte, některé operace to možná urychlí, ale vychází přímo z pravidla součinu. Já osobně podílové pravidlo vždycky zapomenu a odvozuji si ho ze součinového. O co tedy jde. Představme si výraz zapsaný jako f(x) děleno g(x). A chceme určit jeho derivaci, tedy derivaci f(x) lomeno g(x). Důležité je si uvědomit, že je to stejné jako derivace… Místo f(x) lomeno g(x) můžeme napsat f(x) krát g(x) na −1. A nyní můžeme využít pravidlo součinu spolu s pravidlem o složené funkci. Čemu se to bude rovnat? Prostě použijeme pravidlo součinu. Jde o derivaci první funkce, tedy f'(x), krát druhá funkce, což je g(x) na −1, plus první funkce, což je jen f(x), krát derivace druhé funkce. A tady musíme použít pravidlo o složené funkci. Derivace vnější funkce, kterou můžeme vnímat jako derivaci něčeho na −1 podle toho něčeho. A to bude −1 krát to něco, což je v tomto případě g(x), na −2. A pak musíme zderivovat vnitřní funkci podle x, což je prostě g'(x). A máme to. Spočítali jsme tuto derivaci pomocí pravidla o součinu a o složené funkci. Toto ale není ve tvaru, který uvidíte, když si najdete podílové pravidlo ve své učebnici. Podívejme se, jestli to můžeme zjednodušit. Toto celé bude rovno… Tento výraz můžeme zapsat jako f'(x) lomeno g(x). f'(x) lomeno g(x). A toto můžeme zapsat jako… Toto minus můžeme dát dopředu. Dostaneme −f(x) krát g'(x). A pak to celé lomeno g(x) na druhou. Napíšu to trochu lépe. To celé lomeno g(x) na druhou. A tohle ještě stále není ve tvaru, který obyčejně najdete v učebnici. Aby to tak bylo, musíme ještě sečíst tyto dva zlomky. Vynásobme tedy tento čitatel a jmenovatel tímto g(x), abychom měli všude g(x) na druhou ve jmenovateli. Když tedy vynásobíme čitatel g(x), dostaneme g(x) tady a ve jmenovateli bude g(x) na druhou. A teď můžeme sčítat. Dostaneme tedy, že derivace f(x) lomeno g(x) je rovna derivaci f(x) krát g(x) minus, už ne plus, napíšu to bílou, minus f(x) krát g'(x), to celé lomeno g(x) na druhou. Takže ještě jednou, toto si vždy můžete odvodit z pravidla o součinu a složené funkci. Někdy se může hodit si toto pamatovat, abychom některé příklady v tomto tvaru vyřešili rychleji. A když se podíváme na to, čím se liší pravidlo součinové a podílové, tady je to derivace jedné funkce krát druhá funkce, ale místo přičítání derivace druhé funkce krát první funkce to teď odčítáme. A celé je to ještě lomeno druhou funkcí na druhou. Cokoli bylo ve jmenovateli, je teď na druhou. Takže když derivujeme tuto funkci a jmenovatel, tady je odčítání a celé je to ještě lomeno druhou funkcí na druhou.