Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (9/23) · 5:25

Derivace exponenciál o různých základech V minulém videu jsme se dozvěděli, jak jednoduše lze derivovat exponenciálu se základem "e". Jak to je s jinými základy?

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu se chci zabývat derivacemi exponenciálních funkcí. Určitě jsme se již setkali s derivacemi derivace podle x z (e na x) se rovná (e na x), což je docela zajímavá věc. Jedna z mnoha věcí, která činí e neobvyklým. Když zde máte exponenciální funkci o základu e, její derivace, sklon v jakémkoli bodě je roven hodnotě aktuální funkce. Pojďme teď prozkoumat funkce o jiném základu. Můžeme nějak přijít na to, co je derivací podle x pokud máme (a na x), kde 'a' může být jakékoli číslo? Lze to nějak vyřešit? A možná s využitím znalostí, že derivace (e na x) je (e na x)? Můžeme nějak použít trochu algebry a vlastností exponentu a přepsat to tak, že 'e' bude základ? Můžeme uvažovat, že 'a' rovná se 'e'. Napíšu to takto. Tak, 'a' se rovná 'e' na přirozený logaritmus 'a'. Pokud vám to není jasné, chci, aby jste o tom přemýšleli. Co je přirozeným logaritmem 'a'? přirozeným logaritmem 'a' je mocnina, kterou umocníte 'e', aby jste dostali 'a'. Takže pokud umocníte e exponentem, který potřebujete, aby jste po umocnění dostali 'a'. Potom dostanete hodnotu 'a'. Tak o tom popřemýšlejte. Nepřijměte to jako slepou pravdu. Mělo by vám to dávat smysl. A vychází to z toho, co je logaritmus. Takže můžeme nahradit 'a' tímto celým výrazem. Pokud 'a' je shodné s 'e' na přirozený logaritmus, potom to bude rovno derivaci e podle x. přirozeného logaritmu Píšu la, místo přirozeného logaritmu a (lna) a potom to umocníme na x-tou mocninu. Umocníme to x-tou mocninou. A teď, s užitím vlastnosti exponentu to bude rovno derivaci podle x a tady to zvýrazním. Pokud něco umocním exponentem a ještě znovu to umocním exponentem, je to stejné jako umocnit původní základ na součin exponentů. To je základní vlastnost exponentů. Takže to bude stejně jako 'e' na přirozený logaritmus 'a', přirozený logaritmus 'a' krát exponent 'x'. A teď to můžeme použít řetízkové pravidlo a vyčíslit derivaci. Takže co teď uděláme, je, že první vezmeme derivaci vnější funkce. 'e' na přirozený logaritmus 'a' krát 'x' podle vnitřní funkce, podle přirozeného logaritmu 'a' krát x. A tak se to bude rovnat 'e' na přirozený logaritmus 'a' krát 'x' A potom vezmeme derivaci vnitřní funkce podle x. Přirozený logaritmus 'a' nemusí to být hned patrné, ale bude to číslo. Bude to tak, krát derivace. Kdyby to byla derivace (3x), byly by to 3. pokud to je derivace přirozeného logaritmu 'a' krát 'x', bude to přirozený logaritmus 'a'. A to nám dá přirozený logaritmus 'a' krát 'e' na přirozený logaritmus 'a'. A zapíšu to takto: přirozený logaritmus 'a' na 'x'. Už jsme to viděli. Toto zde vpravo je jen 'a'. Vše se zjednoduší na přirozený logaritmus 'a' krát (a na x), což je pěkný výsledek. Takže derivace e na x je e na x. Pokud derivujete (a na x) bude to přirozený logaritmus 'a' krát (a na x) Takže můžeme použít výsledek, abychom dostali derivaci výrazů o jiném základu než 'e'. Takže když chceme najít derivaci podle x výrazu 8 krát (3 na x), kolik to bude? Jednoduše: 8 krát... a teď derivace tady toho bude... na základě toho, co už jsem říkal, to bude přirozený logaritmus našeho základu, přirozený logaritmus 3 krát (3 na x) Takže je to rovno 8 krát přirozený logaritmus 3 krát (3 na x).
video