Derivace aˣ (pro libovolný základ a)

V tomto videu se chci zabývat derivacemi exponenciálních funkcí. Už jsme se setkali s derivacemi podle x z (e na x), což je (e na x), to je docela zajímavá věc. Jedna z mnoha věcí, která činí e neobvyklým. Když zde máte exponenciální funkci o základu e, její derivace, sklon v jakémkoli bodě, je roven hodnotě aktuální funkce. Pojďme teď prozkoumat funkce o jiném základu. Můžeme nějak přijít na to, co je derivací podle x, pokud máme (a na x), kde 'a' může být jakékoli číslo? Lze to nějak vyřešit? A možná s využitím znalosti, že derivace (e na x) je (e na x)? Můžeme nějak použít trochu algebry a vlastností exponentu a přepsat to tak, že 'e' bude základ? Můžeme uvažovat, že 'a' rovná se 'e'… Napíšu to takto. 'a' se rovná 'e' na přirozený logaritmus 'a'. Pokud vám to není jasné, chci, abyste o tom přemýšleli. Čemu je roven přirozený logaritmus z 'a'? Přirozeným logaritmem 'a' je mocnina, kterou umocníte 'e', abyste dostali 'a'. Takže pokud umocníte e exponentem, který potřebujete, abyste po umocnění dostali 'a', potom dostanete hodnotu 'a'. Tak o tom popřemýšlejte. Nepřijměte to jako slepou pravdu. Mělo by vám to dávat smysl. Vychází to z toho, co je logaritmus. Takže můžeme nahradit 'a' tímto celým výrazem. Pokud 'a' je shodné s 'e' na přirozený logaritmus, potom to bude rovno derivaci podle x… Derivaci e na ln(a) a potom to umocníme na x-tou mocninu. Teď s užitím vlastnosti exponentu to bude rovno derivaci podle x… Tady to zvýrazním. Pokud něco umocním a ještě znovu to umocním, je to stejné jako umocnit původní základ na součin exponentů. To je základní vlastnost exponentů. Tedy to bude stejné jako 'e' na přirozený logaritmus 'a' krát 'x'. A teď to můžeme použít pravidlo o složené funkci a vyčíslit derivaci. Takže teď uděláme to, že první vezmeme derivaci vnější funkce. 'e' na přirozený logaritmus 'a' krát 'x' podle vnitřní funkce, tedy podle přirozeného logaritmu 'a' krát x. Bude se to rovnat 'e' na přirozený logaritmus 'a' krát 'x'. A potom vezmeme derivaci vnitřní funkce podle x. Přirozený logaritmus 'a'… Nemusí to být hned patrné, ale to je číslo. Bude to vynásobené derivací. Kdyby to byla derivace (3x), byly by to 3. Když to je derivace přirozeného logaritmu 'a' krát 'x', bude to přirozený logaritmus 'a'. A to nám dá přirozený logaritmus 'a' krát 'e' na přirozený logaritmus 'a'. A zapíšu to takto: přirozený logaritmus 'a' na 'x'. Už jsme to viděli. Toto zde vpravo je jen 'a'. Vše se zjednoduší na přirozený logaritmus 'a' krát (a na x), což je pěkný výsledek. Takže derivace e na x je e na x. Pokud derivujete (a na x), bude to přirozený logaritmus 'a' krát (a na x). Takže můžeme použít výsledek, abychom dostali derivaci výrazů o jiném základu než 'e'. Takže když chceme najít derivaci podle x výrazu 8 krát (3 na x), kolik to bude? Jednoduše: 8 krát… A teď derivace tady toho bude… Na základě toho, co už jsem říkal, to bude přirozený logaritmus našeho základu, přirozený logaritmus 3 krát (3 na x). Takže je to rovno 8 krát přirozený logaritmus 3 krát (3 na x).