Limity II
Přihlásit se
Limity II (5/10) · 11:14

Definice spojitosti funkce pomocí limity Intuitivně poznáme, kdy je funkce takzvaně spojitá. Nyní si ji však zavedeme pomocí jednostranných limit a funkční hodnoty v daném bodě.

Navazuje na Limity.
V tomto videu budu mluvit o spojitosti. Když vidíme nakreslenou funkci, můžeme lehce posoudit, zda je spojitá či nikoliv. Ukážeme si ale i přesnější definici. Co myslím tím, lehce posoudit? Nakreslím tu pár funkcí. Tohle je osa y, tohle x. Kdybych teď nakreslil funkci, f(x) by vypadala třeba nějak takhle, a zeptal bych se, jestli je na intervalu, na kterém jsem ji nakreslil, ...od ‚x‘ se rovná 0 do tohoto bodu... tato funkce spojitá. Vy byste řekli "Ne, není." Tady vidíme, jak funkce najednou poskočí z tohoto na tento bod. Tohle není spojité. Můžeme říct, že máme nespojitost pro tuto hodnotu . Toto budeme nazývat nespojitost a tenhle konkrétní typ "skoková" nespojitost. Je vidět, že tyhle dvě části na sebe nenavazují. Nedotýkají se. Podobně, kdybychom měli funkci, která vypadá.. Nakreslím tu jinou. Řekněme, že funkce bude vypadat nějak takhle. Vypadá asi takto a pak je v tomto bodě. Je funkce spojitá na intervalu, který jsem tu načrtl? Hned byste řekli "ne, není," protože tady funkce poskočí nahoru do tohoto bodu. Tento typ nespojitosti se nazývá "odstranitelná" nespojitost. Někdo by mohl tvrdit, že tohle taky vypadá jako skok, ale toto se kategorizuje jako odstranitelná nespojitost. protože pokud pouze předefinujeme funkci, aby bod nebyl tady nahoře, ale tady dole, dostaneme spojitou funkci. Můžeme tedy jednoduše nespojitost odstranit. Teď nakreslím další funkci. Opět, osy x, y. A ptám se, je tahle spojitá na intervalu, na kterém jsem ji znázornil? Vy byste řekli "jo, vypadá celá spojitá, nejsou tu žádné skoky, žádné odstranitelné nespojitosti. Vypadá spojitá." A měli byste pravdu. Tohle je obecně spojitost. Dá se celkem lehce poznat z grafu. Zamysleme se ale nad přesnější definicí. Už máme definici pro limity: Epsilon-delta definice nám přesně definuje limity. Můžeme díky ní dokázat, kdy limita existuje a jakou má hodnotu. Mohli bychom tohle použít pro definování spojitosti. Mějme nějakou funkci na intervalu. Třeba... nakreslím tu další funkci Teď uvidíme, jestli naše přesnější definice spojitosti bude vyhovovat, když se podíváme na všechny případy. Nakreslím tu interval. Je to tedy mezi těmito hodnotami ‚x‘. Tohle je osa x, tohle je osa y. Teď na tomto intervalu nakreslím funkci, která vypadá asi takto. Řekneme, že funkce je spojitá ve vnitřním bodě. Vnitřní bod je takový bod, který není na kraji mého intervalu. Takže tohle je vnitřní bod pro můj interval. Tohle by byl krajní bod, stejně jako tohle. Říkáme, že je spojitá na vnitřním bodě. Vnitřním pro můj interval To znamená, že limita v bodě c... ...tohle je bod ‚x‘ je rovno c... Můžeme říct, že je spojitá ve vnitřním bodě c, pokud limita naší funkce... ...tohle je naše funkce... pokud limita funkce pro ‚x‘ jdoucí k c je rovna hodnotě naší funkce ve stejném bodě. Dává to smysl? Co tím říkáme? Hodnota funkce v tomto bodě, f(c) a limita, když se k bodu blížíme, jsou stejné. A to zní rozumně. Zamysleme se, jestli by tyto dvě funkce mohly projít touto podmínkou spojitosti. Tady, tohle bude náš bod c. f(c) bude tady. Platí tady, že limita f(x), pro ‚x‘ jdoucí k c, je rovna f(c)? Když se podíváme na limitu f(x), pro ‚x‘ jdoucí k c zprava vypadá to jako f(c). Teď ale vezmeme druhou stranu. Tohle se nerovná limitě f(x) pro ‚x‘ jdoucí k c zleva. Když půjdeme zleva, nedostaneme se k f(c)! Proto tahle rovnost neplatí. Aby byla limita rovna f(c), musí být f(c) rovny obě jednostranné limity. A to zde neplatí. Tohle tedy neprojde naší formální definicí. A to je dobře, protože už od pohledu vidíme, že tato funkce spojitá není. A co tahle druhá? Vrátím ji do původního stavu, tady má být díra Vidíme, že limita... ...tohle je naše c... Limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k c bude rovna L. Takových limit jsme viděli hodně. Tohle je L a je od pohledu jasné, že L se nerovná f(c). Tohle tady je f(c). Opět, tohle neprojde naší definicí. Limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k c, což je tady, se nerovná f(c). Proto to neprojde. Kterýkoli z vnitřních bodů tady by prošel. Limita pro ‚x‘ jdoucí k této hodnotě je rovna hodnotě funkce pro tento bod. Takže to vypadá dobře pro všechny tyhle body. Teď vymysleme definici týkající se krajních bodů. Tohle je spojitost pro vnitřní bod a teď se podívejme na spojitost v krajním bodě c. Nejdřív vezměme v úvahu levý krajní bod. Pokud levý krajní bod... ...co je vlastně ten levý krajní bod? Nakreslím si graf. Osy x, y. Teď nakreslím interval. Tohle je levý krajní bod mého intervalu. Tohle bude pravý krajní bod. Nakreslím funkci na tomto intervalu. Ta bude vypadat asi takhle. Mluvíme o levém krajním bodě, tedy mluvíme o bodě c, který je tady. Je to levý krajní bod. Takže pokud mluvíme o levém krajním bodě, tedy o spojitosti v bodě c. Tedy limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k c... ...my se vlastně ani nemůžeme blížit k c z levé strany, musíme jít zprava... limita je rovna f(c). Tady se můžeme blížit jen z jedné strany, Nemůžeme mluvit o limitě obecně, ale můžeme uvažovat jednostrannou limitu. Je to tedy velice podobné s tím, co jsme řekli pro vnitřní bod. A tady vidíme, opravdu je to tento případ, jak ‚x‘ jde k c, naše funkce se blíží tomuto bodu, což je to samé jako f(c). V tomto bodě je funkce spojitá. Jak by vypadal případ, kdybychom nebyli spojití v krajním bodě? Třeba funkce, jejíž graf by vypadá nějak takto. Tady je náš interval. A tady je naše funkce, c bude tohle. Tady je díra. Funkce tu má odstranitelnou nespojitost. Nebo to tak alespoň vypadá. A vidíte, že tohle by neprošlo testem, protože limita, když jdeme k c zprava, je tady a hodnota funkce f(c) je tady. f(c) se nerovná naší limitě, když ‚x‘ jde k c zprava. Tohle tedy nebude spojité. Asi si dovedete představit, jak by to vypadalo pro pravý krajní bod. Řekneme, že funkce je spojitá v pravém krajním bodě c. Nakreslím to. Osa x, osa y. Toto je uvažovaný interval. Řekněme, že to bude vypadat nějak takhle. Pravý krajní bod znamená, že c je tady. A můžeme říct, že je funkce spojitá v bodě x = c, a to znamená, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k c... ...opět nemůžeme jít z obou stran, můžeme jen zleva... Můžeme říct, že pokud je tohle pravda, znamená to, že jsme spojití v pravém krajním bodě c a naopak. Jak by to vypadalo, kdyby funkce nebyla spojitá? Můžeme si představit, že tohle je definováno na tomto bodě. Řekneme, že funkce skočí nahoru stejně jako jsme to udělali tady. Takže opět, spojitost není tak těžká na pochopení. Kdykoliv vidíte, že funkce najednou skáče nebo je v ní nějaká díra, nejspíš nebude spojitá. V tomto videu jsme k přesnější definici spojitosti využili limit.
video