Limity II
Limity II (9/10) · 7:11

Věta o dvou policajtech Když dva policajti mezi sebou vedou zločince, zločinci nezbývá nic jiného než jít mezi nimi. Takto se chovají i funkce, které konvergují ke stejné limitě.

Navazuje na Limity.
Nyní si řekneme o jedné z mých nejoblíbenějších matematických vět, a to je věta o sevření. Jeden z důvodů, proč je to jedna z mých oblíbených vět, je ten, že v názvu obsahuje „sevření", což je slovo, které se v matematice moc neobjevuje. Ale toto pojmenování je výstižné. V jiných jazycích se této větě říká i „sandwich theorem", což je také výstižné pojmenování, jak uvidíme za chvíli. A protože se tomu může říkat i „sandwich theorem", zamysleme se nejdřív nad analogií, abychom získali představu o této větě o sevření. Řekněme, že jsou tři lidé. První se jmenuje Imran, další je Diya a poslední je Sal. Řekněme, že Imran má v jakýkoliv den nejnižší počet kalorií. A Sal má každý den nejvyšší počet kalorií. Každý den můžeme říct, že Diya sní nejméně tolik, jako Imran. Dále můžeme říct, že Sal sní aspoň tolik... ....toto pouze opakuje slova na vrchním řádku...jako Dyia. Můžeme napsat jednoduchou nerovnost. V daný den můžeme napsat, že tento den bude Imranových kalorií méně nebo rovno kalorií Diy ve stejný den, kterých zase bude méně nebo rovno Salovým kaloriím tento den. Nyní řekněme, že je úterý. Představme si, že v úterý zjistíte, že Imran snědl 1 500 kalorií a ve stejný den také Sal snědl 1 500 kalorií Na základě toho, kolik kalorií musela ten den sníst Diya? Víme, že každý den sní aspoň tolik, kolik Imran, takže snědla 1 500 kalorií nebo více. Ale také každý den sní méně nebo rovno počtu kalorií, které sní Sal. Musí to být méně nebo rovno 1 500. Ale je jenom jedno číslo, které je větší nebo rovno 1 500 a zároveň menší nebo rovno než 1 500 a to je 1500 kalorií. Takže Diya musela sníst 1 500 kalorií. To dává dobrý smysl. Diya musela sníst 1 500 kalorií. A věta o sevření je v podstatě matematická verze tohoto příkladu pro funkce. Můžeme se na Imranovy kalorie podívat, jako na funkci dne. Na Salovy kalorie, jako na funkci dne. A Diyainy kalorie, jakožto funkce dne, budou vždycky mezi těmito dvěma. Nyní udělejme toto trochu matematičtěji. Toto teď vymaži, abychom měli místo na matematiku. Řekněme, že máme podobný příklad. Máme tři funkce. Řekněme, že funkce f(x) na nějakém intervalu je vždy menší nebo rovna než funkce g(x) na tomtéž intervalu, která je vždy menší nebo rovna funkci h(x), opět na stejném intervalu. Nyní to ukáži graficky. Toto je moje osa y. Toto je moje osa x. Vyberu si nějaký interval na ose x. Řekněme, že funkce h(x) vypadá nějak takto. Uděláme to zajímavější. Toto je osa x. Takže funkce h(x) vypadá nějak takto. Toto je moje h(x). Nyní funkce f(x) vypadá nějak takto. Může dělat něco zajímavého, najednou klesá, potom stoupá, nějak takto, tudíž f(x) vypadá takto. A nyní funkce g(x), v každém bodě je hodnota g(x) v tomto bodě mezi těmito dvěma. Nyní je myslím vidět, kde se nachází sevření, či sendvič. Kdyby h(x) a f(x) byly krajíce chleba, pak by g(x) bylo maso mezi nimi. Vypadalo by to nějak takto. Nyní, řekněme, že víme...Toto je analogie příkladu před chvílí. Nějaký konkrétní den, Sal i Imran snědli stejné množství. Pro nějakou konkrétní hodnotu ‚x‛, se f(x) a h(x) v tomto bodě ‚x‛ blíží stejné limitě. Vezměme si toto ‚x‛ někde tady. Řekněme, že naše hodnota ‚x‛ je toto ‚c‛. A řekněme, že limita f(x) když se ‚x‛ blíží ‚c‛, je rovna ‚L‛. Dále i limita h(x), když se ‚x‛ blíží ‚c‛, je také rovna ‚L‛. Všimněme si, že když se ‚x‛ blíží ‚c‛, hodnota h(x) se blíží k ‚L‛. Když se ‚x‛ blíží ‚c‛ z libovolné strany, hodnota f(x) se blíží k ‚L‛. Takže tyto limity musí existovat. Tyto funkce nemusí být definovány přímo v ‚c‛. Musí být pouze definovány na nějakém intervalu kolem ‚c‛. Ale na tomto intervalu to musí platit. Pokud limity tady jsou definovány a protože víme, že funkce g(x) je stále sevřená mezi těmito dvěma, potom, pro ten konkrétní den nebo v tom konkrétním bodě, jako v příkladě s jídlem, nám to říká, že pokud toto všechno platí na tomto intervalu, potom limita g(x), když se ‚x‛ blíží ‚c‛, musí být také ‚L‛. A opět, toto dává smysl. f(x) se blíží k ‚L‛, h(x) se blíží k ‚L‛ a g(x) je sevřená mezi nimi, tudíž se také musí blížit k ‚L‛. Můžete si říct, že to je jasné. Proč se to používá? Uvidíte, že se to hodí k hledání limit různých nezvyklých funkcí. Když umíte najít funkci, která je vždy větší než ona a funkci, která je vždy menší a tyto funkce mají v nějakém bodě stejnou limitu, potom víte, že nezvyklá funkce mezi nimi bude mít v tomto bodě stejnou limitu.
video