Limity II
Přihlásit se
Limity II (2/10) · 6:06

Definice limity pomocí okolí bodu Nastíníme si přesnou matematickou definici limity. Ta říká, že pro všechna okolí limity o velikosti epsilon existuje okolí x o velikosti delta.

Navazuje na Limity.
Zkusme zformulovat matematicky rigorózní definici toho, co tento výrok znamená. Výrok, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ je rovna ‚L‘. Znamená to, že můžeme dostat f(x) tak blízko ‚L‘, „jak jen chceme“… Dávám to do uvozovek, protože není moc jasné, jak blízko to je. …tak blízko jak jen chceme tím, že se budeme s ‚x‘ dostatečně přibližovat k ‚c‘. Jiný způsob jak to říct je, že když si určíme, že chceme, aby f(x) bylo v okolí o velikosti 0,5 kolem ‚L‘, pak, pokud je ta limita správně, měli bychom být schopni najít nějaké okolí kolem ‚c‘ takové, že pokud ‚x‘ leží v tom okolí, pak f(x) bude určitě v mnou určeném okolí ‚L‘. Nakreslím to, aby to bylo jasnější. Nakreslím další graf. Tohle je má y-ová osa… trochu to přiblížím a nakreslím jinou funkci, na které to půjde lépe vidět. Potřebujeme malé okolí ‚c‘ a malé okolí ‚L‘. Takže tohle je x-ová osa. Tohle je y-ová osa. ‚c‘ bude třeba tady. A teď si tu funkci přibližme, řekněme, že vypadá nějak takto… Nechci aby byla definovaná v ‚c‘, i když by klidně mohla, vždycky můžeme najít limitu funkce v bodě, kde je definovaná. Ale dejme tomu, že ta funkce vypadá takhle. Tady jsem omylem nakreslil hrbolek. Vypadá tedy takto, není definovaná v… Nakreslím to trochu jinak. Není definovaná pro ‚x‘ rovno ‚c‘. V tomto bodě je tedy díra. Není definovaná pro ‚x‘ rovno ‚c‘. A je tady takový hrbolek. A my chceme dokázat, že limita f(x)… Tohle je graf funkce ‚y‘ se rovná f(x). Chceme víc porozumět tomu, co říká tato definice, když tvrdíme, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí do ‚c‘ je rovna ‚L‘. Takže více méně už víme, o co jde. Už chápeme podstatu, že toto je ‚L‘. Ale co nám říká tato definice? Říká, že f(x) můžeme nacpat tak blízko ‚L‘, jak jen chceme. Takže když někomu řeknete, že chcete dostat f(x) do daného okolí ‚L‘, tak pokud limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí do ‚c‘ je opravdu ‚L‘, tak potom by měl být schopen najít okolí bodu ‚c‘ takové, že pokud se ‚x‘ nachází v tomto okolí ‚c‘, f(x) se určitě bude nacházet v tom vámi daném okolí ‚L‘. Pojďme to tedy opravdu zkusit, je to vážně trochu taková hra. Takže někdo k vám přijde a řekne: „OK, sice tvrdíš, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí do ‚c‘ je ‚L‘, ale já si tím nejsem úplně jistý. Ale s touto definicí souhlasím, takže chci dostat f(x) do okolí o velikosti 0,5 kolem ‚L‘.“ Tady tedy máme (L plus 0,5) a tady je (L minus 0,5). A vy mu řeknete: „Dobře, tak já najdu takové okolí bodu ‚c‘, že ať vezmeš jakékoliv ‚x‘ z toho okolí, f(x) bude vždycky náležet tvému okolí bodu ‚L‘.“ Takže když se na to kouknete, sice jsme explicitně tu funkci nedefinovali, ale pro tuto funkci to jde vyčíst rovnou z grafu, samozřejmě to nelze pro všechny funkce. V tomto případě ale stačí říct, že tato hodnota, kterou jsem teď zakreslil… Řekněme, že toto je (c minus 0,25) a že tato hodnota je (c plus 0,25). Takže mu řeknete: „Koukej, pokud vezmeš ‚x‘ z okolí ‚c‘ o velikosti 0,25, takže bude někde v tomto rozmezí, odpovídající f(x) bude ležet v okolí ‚L‘, které jsi určil. Takže tohle kolo jste vyhráli, ale co když to okolí zúžím? Místo 0,5 chci, aby f(x) náleželo okolí ‚L‘ o velikosti 0,05. Museli byste si s tím znovu pohrát a najít vhodné okolí ‚x‘. Aby tato limita platila, musíte to být schopni provést pro libovolné okolí ‚L‘. Pro libovolné okolí bodu ‚L‘, které vám někdo zadá, musíte být schopni najít okolí bodu ‚c‘ takové, že všechna ‚x‘ z tohoto okolí splňují, že jejich funkční hodnota leží v tom zadaném okolí ‚L‘. Nechám vás o tom chvilku přemýšlet, je toho opravdu hodně, ale snad to dává smysl. Udělali jsme to pro konkrétní případ, když nám někdo zadá okolí ‚L‘ o velikosti 0,5, můžete mu říct: „Dokud je ‚x‘ v okolí ‚c‘ o velikosti 0,25, bude to splňovat.“ Musíte ale být schopni to udělat pro libovolné zadané okolí ‚L‘. Až potom můžeme prohlásit tuto limitu za pravdivou. Takže v příštím videu si to zobecníme. A to nás konečně zavede k slavné epsilon-delta definici limity.
video