Limity II
Přihlásit se
Limity II (7/10) · 4:57

Limita funkce pomocí algebraických úprav - příklad 2 Další příklad, na kterém si procvičíme, jak můžeme pomocí algebraických úprav limity udělat z nespojité funkce funkci spojitou.

Navazuje na Limity.
Funkce f(x) rovnající se (6x^2 plus 18x plus 12) děleno (x^2 minus 4), není definovaná pro ‚x‘ rovno +/-2. Vidíme, proč tomu tak je. Pokud by se ‚x‘ rovnalo +/-2, x^2 by bylo 4 a (4 minus 4) je rovno 0, takže bychom dostali 0 ve jmenovateli a to není definované, nevíme, co se stane při dělení nulou, není to definované. Otázka zní, jakou funkční hodnotu by měla funkce mít v -2, aby tam byla spojitá. Abychom to mohli určit, zkusme zjednodušit předpis funkce. Takže f(x) se rovná… Rovnou to budu upravovat, nebudu to už přepisovat. Z čitatele můžu vytknout 6. To mi dá 6 krát (x^2 plus 3x plus 2) děleno… Ve jmenovateli máme rozdíl čtverců, to je (x plus 2) krát (x minus 2). A ještě můžeme rozložit výraz v čitateli, takže se to bude rovnat 6 krát… Udělám to jinou barvou. Hledám dvě čísla, jejichž součin je 2 a jejichž součet je 3. Zřejmě jsou to 2 a 1. Takže se to rovná 6 krát (x plus 2) krát (x plus 1). Kdybyste to zpátky roznásobili, dostanete (x^2 plus 3x plus 2). …a to celé děleno (x plus 2) krát (x minus 2). Když víme, že se ‚x‘ nerovná -2, můžeme čitatel i jmenovatel vydělit (x plus 2). Důvod pro tu podmínku je ten, že kdyby se ‚x‘ rovnalo -2, (x plus 2) by bylo 0 a to není dovoleno, dělení nulou není definováno. Můžeme tedy říct, že se to bude rovnat… Vydělíme čitatel i jmenovatel (x plus 2), ale musíme udělat předpoklad, že je ‚x‘ různé od -2. Takže to bude 6 krát… Vydělíme čitatel i jmenovatel (x plus 2). Takže se to rovná 6 krát (x plus 1) děleno (x minus 2). Ale musíme sem napsat tu podmínku, protože jsme změnili ten výraz. Tento výraz už je definovaný pro x rovno -2, takže aby byl ekvivalentní původnímu výrazu, musíme ho doplnit o podmínky. Takže napíšeme, že platí pro ‚x‘ různé od -2. Je očividné, že ‚x‘ se nesmí rovnat ani 2, tento výraz není pro ‚x‘ rovno 2 definován, takže můžeme napsat: pro ‚x‘ různé od +-2, pokud chceme být opravdu důslední. Otázka ale zní, jakou funkční hodnotu máme přiřadit -2, aby byla funkce v -2 spojitá. Naše funkce je totožná s tímto výrazem, až na to, že ta funkce není definovaná v ‚x‘ rovno -2. Proto musíme uvažovat tuto podmínku, když chceme, aby tento výraz byl stejný jako definice naší funkce. Ale pokud chceme funkci změnit tak, aby byla spojitá v -2, musíme f(x) v -2 položit rovno hodnotě tohoto výrazu v -2. Pojďme ji tedy určit. Takže 6 krát (-2 plus 1) děleno (-2 minus 2) se rovná… Tohle je 6 krát -1, takže -6 děleno -4, což je rovno 3/2. Takže můžeme naši funkci předefinovat. Můžeme říct, že f(x) je rovno (6x^2 plus 18x plus 12) děleno (x^2 minus 4), pro ‚x‘ různé od +/-2. A f(x) je rovno 3/2 pro ‚x‘ rovno -2. Teď je ta funkce úplně stejná jako tenhle výraz tady. Tahle nová, rozšířená definice naši funkce je nyní totožná s tímto výrazem. Rovná se 6 krát (x plus 1) děleno (x minus 2). Takže odpověď na otázku, jaká musí být funkční hodnota f(x) v -2, aby tam funkce byla spojitá, je, že funkční hodnota v --2 musí být 3/2.
video