Hlavní obsah
Odstranění nespojitosti (rozklad na součin)
V tomto videu zjistíme, jaká by měla být hodnota funkce f(x)=(6x²+18x+12)/(x²-4) v bodě x=-2, abychom ji v tomto bodě mohli spojitě dodefinovat. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce f(x) rovnající se (6x^2 plus 18x plus 12)
děleno (x^2 minus 4), není definovaná pro ‚x‘ rovno +/-2. Vidíme, proč tomu tak je. Pokud by se ‚x‘
rovnalo +/-2, x^2 by bylo 4 a (4 minus 4) je rovno 0, takže
bychom dostali 0 ve jmenovateli a to není definované, nevíme, co se stane
při dělení nulou, není to definované. Otázka zní, jakou funkční hodnotu by měla
funkce mít v -2, aby tam byla spojitá. Abychom to mohli určit,
zkusme zjednodušit předpis funkce. Takže f(x) se rovná… Rovnou to budu
upravovat, nebudu to už přepisovat. Z čitatele můžu vytknout 6. To mi dá 6 krát (x^2 plus 3x plus 2)
děleno… Ve jmenovateli máme rozdíl čtverců, to je
(x plus 2) krát (x minus 2). A ještě můžeme rozložit výraz v čitateli,
takže se to bude rovnat 6 krát… Udělám to jinou barvou. Hledám dvě čísla, jejichž
součin je 2 a jejichž součet je 3. Zřejmě jsou to 2 a 1. Takže se to rovná 6 krát
(x plus 2) krát (x plus 1). Kdybyste to zpátky roznásobili,
dostanete (x^2 plus 3x plus 2). …a to celé děleno
(x plus 2) krát (x minus 2). Když víme, že se ‚x‘ nerovná -2, můžeme
čitatel i jmenovatel vydělit (x plus 2). Důvod pro tu podmínku je ten, že kdyby se
‚x‘ rovnalo -2, (x plus 2) by bylo 0 a to není dovoleno, dělení
nulou není definováno. Můžeme tedy říct, že se to bude rovnat…
Vydělíme čitatel i jmenovatel (x plus 2), ale musíme udělat předpoklad,
že je ‚x‘ různé od -2. Takže to bude 6 krát… Vydělíme čitatel
i jmenovatel (x plus 2). Takže se to rovná 6 krát (x plus 1)
děleno (x minus 2). Ale musíme sem napsat tu podmínku,
protože jsme změnili ten výraz. Tento výraz už je
definovaný pro x rovno -2, takže aby byl ekvivalentní původnímu
výrazu, musíme ho doplnit o podmínky. Takže napíšeme, že platí
pro ‚x‘ různé od -2. Je očividné, že ‚x‘ se nesmí rovnat ani 2,
tento výraz není pro ‚x‘ rovno 2 definován, takže můžeme napsat: pro ‚x‘ různé od +-2,
pokud chceme být opravdu důslední. Otázka ale zní, jakou funkční hodnotu máme
přiřadit -2, aby byla funkce v -2 spojitá. Naše funkce je totožná s tímto výrazem, až na to, že ta funkce není
definovaná v ‚x‘ rovno -2. Proto musíme uvažovat tuto podmínku, když chceme, aby tento výraz
byl stejný jako definice naší funkce. Ale pokud chceme funkci
změnit tak, aby byla spojitá v -2, musíme f(x) v -2 položit rovno
hodnotě tohoto výrazu v -2. Pojďme ji tedy určit. Takže 6 krát (-2 plus 1)
děleno (-2 minus 2) se rovná… Tohle je 6 krát -1, takže -6 děleno -4,
což je rovno 3/2. Takže můžeme naši funkci předefinovat. Můžeme říct, že f(x) je rovno
(6x^2 plus 18x plus 12) děleno (x^2 minus 4),
pro ‚x‘ různé od +/-2. A f(x) je rovno 3/2
pro ‚x‘ rovno -2. Teď je ta funkce úplně
stejná jako tenhle výraz tady. Tahle nová, rozšířená definice naši funkce
je nyní totožná s tímto výrazem. Rovná se 6 krát (x plus 1)
děleno (x minus 2). Takže odpověď na otázku, jaká musí být funkční hodnota f(x) v -2,
aby tam funkce byla spojitá, je, že funkční hodnota v --2 musí být 3/2.