Limity II
Přihlásit se
Limity II (6/10) · 5:20

Limita funkce pomocí algebraických úprav - příklad Elegantní úprava funkce pomocí algebraických úprav nám pomůže nalézt limitu v bodě nespojitosti a dodefinovat funkci.

Navazuje na Limity.
Nechť ‚f‘ je funkce definovaná jako odmocnina z (x+4) minus 3 děleno (x minus 5) pro x různé od 5 a f(x) pro x rovno 5 se rovná ‚c‘. Pokud je f(x) spojitá v ‚x‘ rovno 5, jaká je hodnota ‚c‘? Víme tedy že funkce má být spojitá pro ‚x‘ rovno 5, To znamená, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k 5 je rovna funkční hodnotě v 5. To je definice spojitosti. A my víme, že funkční hodnota v 5 je ‚c‘, takže ta limita se musí rovnat ‚c‘. Takže vlastně potřebujeme zjistit, jaká je limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k 5. Když zkusíme do výrazu dosadit za ‚x‘ 5, v čitateli bude 5 plus 4 je 9, odmocnina z 9 je 3 minus 3 je nula. Takže v čitateli bude 0 a ve jmenovateli máme 5 minus 5, což je taky 0. Takže dostaneme nedefinovaný zlomek: 0 dělená 0. Později uvidíme, že máme pravidlo, které nám dává možnost pokusit se najít limitu takového nedefinovaného výrazu, říká se mu L'Hospitalovo pravidlo. Ale teď to můžeme elegantně obejít pomocí algebry. Aby se nám to podařilo, pokusím se dostat tu odmocninu z čitatele. Takže máme odmocninu z (x plus 4) minus 3 děleno (x minus 5). Pokaždé, když uvidíte něco ve tvaru: odmocnina plus nebo minus něco jiného, abyste se zbavili té odmocniny, stačí to vynásobit tím stejným výrazem s odmocninou, jen s opačným znaménkem. V tomto případě vynásobíme zlomek odmocninou z (x plus 4) plus 3, děleno odmocninou z (x plus 4) plus 3. Samozřejmě musíme vynásobit čitatel i jmenovatel tím stejným, abychom nezměnili hodnotu výrazu. Jestliže tady bylo plus 3, tak tady bude minus 3. Tuhle techniku jsme už probrali v dřívějších videích. Obvykle jsme jí upravovali jmenovatel, ale samozřejmě to jde i s čitatelem. Velmi se podobá způsobu, kterým se zbavujeme komplexních čísel ve jmenovateli. Zkuste si to sami roznásobit. Všimněte si, že tenhle vzorec znáte, je to rozdíl čtverců. ‚Něco‘ minus ‚něco‘ krát ‚něco‘ plus ‚něco‘. Takže první člen bude to první ‚něco‘ na druhou. Odmocnina z (x plus 4) na druhou je x plus 4. A druhý člen bude to druhé ‚něco‘ na druhou, ale musíme to odečíst. Takže dostaneme minus 3 na druhou. Takže minus 9. A ve jmenovateli bude (x minus 5) krát odmocnina z (x plus 4) plus 3. Takže čitatel se nám zjednodušil, dalo by se říct, zbavili jsme se odmocniny. Vlastně si jen hrajeme s algebraickými výrazy a zkoušíme se to upravit do tvaru, ve kterém už do toho zlomku můžeme dosadit 5 nebo určit limitu jinak. Když teď upravíme čitatel, dostaneme x minus 5 děleno (x minus 5) krát odmocnina z (x plus 4) plus 3. A teď už to vidíme, čitatel i jmenovatel jsou dělitelní (x minus 5). Takže můžeme čitatel i jmenovatel vydělit (x minus 5), za předpokladu x různého od 5 Takže se to rovná 1 děleno odmocnina z (x plus 4) plus 3. Pro ‚x‘ se nerovná 5. Což je v pořádku, protože funkce je takto definovaná pro ‚x‘ různé od 5. Takže tento výraz můžeme nahradit výrazem 1 děleno odmocnina z (x plus 4) plus 3. Teď, když uděláme limitu pro ‚x‘ jdoucí k 5, budeme se pořád 5 přibližovat, ale nedostaneme se až do 5, můžeme použít tento výraz. Takže limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k 5 bude to samé jako limita 1 děleno odmocninou z (x plus 4) plus 3 pro ‚x‘ jdoucí k 5. Teď už můžeme přímo dosadit 5. Bude se to rovnat 1 děleno odmocnina z (5 plus 4), to je 3, a 3 plus 3 je 6. Takže pokud se ‚c‘ rovná 1/6, pak se bude limita funkce pro ‚x‘ jdoucí do 5 rovnat funkční hodnotě v 5. Tedy funkce bude spojitá v ‚x‘ rovno 5. Funkční hodnota tam je 1/6.
video