Hlavní obsah
Odstranění nespojitosti (usměrnění výrazu)
V tomto videu zjistíme, jaká by měla být hodnota funkce f(x)=(√(x+4)-3)/(x-5) v bodě x=5, abychom ji v tomto bodě mohli spojitě dodefinovat. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Nechť ‚f‘ je funkce definovaná jako odmocnina z (x+4) minus 3 děleno
(x minus 5) pro x různé od 5 a f(x) pro x rovno 5 se rovná ‚c‘. Pokud je f(x) spojitá v ‚x‘ rovno 5,
jaká je hodnota ‚c‘? Víme tedy že funkce má
být spojitá pro ‚x‘ rovno 5, To znamená, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí
k 5 je rovna funkční hodnotě v 5. To je definice spojitosti. A my víme, že funkční hodnota v 5 je ‚c‘,
takže ta limita se musí rovnat ‚c‘. Takže vlastně potřebujeme zjistit,
jaká je limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k 5. Když zkusíme do
výrazu dosadit za ‚x‘ 5, v čitateli bude 5 plus 4 je 9,
odmocnina z 9 je 3 minus 3 je nula. Takže v čitateli bude 0 a ve jmenovateli
máme 5 minus 5, což je taky 0. Takže dostaneme nedefinovaný
zlomek: 0 dělená 0. Později uvidíme, že máme pravidlo, které nám dává možnost pokusit se najít
limitu takového nedefinovaného výrazu, říká se mu L'Hospitalovo pravidlo. Ale teď to můžeme elegantně
obejít pomocí algebry. Aby se nám to podařilo, pokusím
se dostat tu odmocninu z čitatele. Takže máme odmocninu z (x plus 4)
minus 3 děleno (x minus 5). Pokaždé, když uvidíte něco ve tvaru:
odmocnina plus nebo minus něco jiného, abyste se zbavili té odmocniny, stačí to vynásobit tím stejným výrazem
s odmocninou, jen s opačným znaménkem. V tomto případě vynásobíme zlomek
odmocninou z (x plus 4) plus 3, děleno odmocninou z (x plus 4) plus 3. Samozřejmě musíme vynásobit
čitatel i jmenovatel tím stejným, abychom nezměnili hodnotu výrazu. Jestliže tady bylo plus 3,
tak tady bude minus 3. Tuhle techniku jsme už
probrali v dřívějších videích. Obvykle jsme jí upravovali jmenovatel,
ale samozřejmě to jde i s čitatelem. Velmi se podobá způsobu, kterým se
zbavujeme komplexních čísel ve jmenovateli. Zkuste si to sami roznásobit. Všimněte si, že tenhle vzorec znáte,
je to rozdíl čtverců. ‚Něco‘ minus ‚něco‘ krát
‚něco‘ plus ‚něco‘. Takže první člen bude
to první ‚něco‘ na druhou. Odmocnina z (x plus 4)
na druhou je x plus 4. A druhý člen bude to druhé ‚něco‘
na druhou, ale musíme to odečíst. Takže dostaneme minus 3 na druhou.
Takže minus 9. A ve jmenovateli bude (x minus 5) krát
odmocnina z (x plus 4) plus 3. Takže čitatel se nám zjednodušil, dalo by
se říct, zbavili jsme se odmocniny. Vlastně si jen hrajeme s algebraickými
výrazy a zkoušíme se to upravit do tvaru, ve kterém už do toho zlomku můžeme
dosadit 5 nebo určit limitu jinak. Když teď upravíme čitatel,
dostaneme x minus 5 děleno (x minus 5) krát
odmocnina z (x plus 4) plus 3. A teď už to vidíme, čitatel i jmenovatel
jsou dělitelní (x minus 5). Takže můžeme čitatel i jmenovatel vydělit
(x minus 5), za předpokladu x různého od 5 Takže se to rovná 1 děleno
odmocnina z (x plus 4) plus 3. Pro ‚x‘ se nerovná 5. Což je v pořádku, protože funkce
je takto definovaná pro ‚x‘ různé od 5. Takže tento výraz můžeme nahradit výrazem
1 děleno odmocnina z (x plus 4) plus 3. Teď, když uděláme limitu pro ‚x‘ jdoucí
k 5, budeme se pořád 5 přibližovat, ale nedostaneme se až do 5,
můžeme použít tento výraz. Takže limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k 5
bude to samé jako limita 1 děleno odmocninou z (x plus 4)
plus 3 pro ‚x‘ jdoucí k 5. Teď už můžeme přímo dosadit 5. Bude se to rovnat 1 děleno odmocnina
z (5 plus 4), to je 3, a 3 plus 3 je 6. Takže pokud se ‚c‘ rovná 1/6, pak se bude limita funkce pro ‚x‘ jdoucí
do 5 rovnat funkční hodnotě v 5. Tedy funkce bude spojitá v ‚x‘ rovno 5. Funkční hodnota tam je 1/6.