Limity II
Přihlásit se
Limity II (3/10) · 6:59

Definice limity pomocí okolí bodu 2 Definice limity jako hra: soupeř mi zadá okolí funkční hodnoty o velikosti epsilon. Umím najít okolí bodu o velikosti delta?

Navazuje na Limity.
V minulém videu jsme se snažili přijít na přesnou definici limity. Když řeknete, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ je ‚L‘, Říkáte vlastně -a to je ta více méně přesná definice- že můžete dostat f(x) libovolně blízko ‚L‘ tím, že vezmete ‚x‘ dostatečně blízko ‚c‘. Zkusme to říct nějak lépe. Místo, abychom řekli „libovolně blízko“, nazveme tu vzdálenost nějakým číslem epsilon. Použiji řecké písmeno epsilon. Takže je to opravdu taková hra. Vy mi řeknete, jak blízko chcete -tohle je ta hra- Vy mi řeknete, jak blízko ‚L‘ má být f(x). To uděláte tak, že mi určíte kladné číslo epsilon, o takové velikost, jaká má být maximální vzdálenost f(x) od ‚L‘. Takže mi zadáte kladné číslo ‚epsilon‘. Epsilon znamená, jak blízko ‚L‘ chcete být. Například, když je epsilon rovno 0,01, znamená to, že chcete, aby f(x) bylo v okolí ‚L‘ o velikosti 0,01. Takže já řeknu: „No dobře, vy jste mi zadali epsilon a já vám najdu takové kladné číslo, kterému budeme říkat ‚delta‘, malé řecké písmeno delta, takové, že pokud je ‚x‘ v delta-okolí ‚c‘, pak f(x) bude v epsilonovém okolí ‚L‘.“ Přesvědčme se, že je to opravdu to samé. V této žluté definici říkáme, že můžeme f(x) dostat libovolně blízko ‚L‘ tím, že s ‚x‘ půjdeme dostatečně blízko ‚c‘. Ve druhé definici, kterou jsem pojal spíš jako hru, děláme to samé. Někdo nám řekne, jak blízko ‚L‘ chce dostat f(x) a našim úkolem je najít delta takové, že pokud ‚x‘ bude v delta-okolí ‚c‘, ‚L‘ bude v epsilonovém okolí limity ‚L‘. Takže děláme to samé. Hledáme takové ‚x‘, které se nachází tak blízko ‚c‘, že f(x) je v požadované vzdálenosti od ‚L’. Pojďme si to ještě ujasnit obrázkem. Řeknete mi, že chcete, aby f(x) bylo v epsilonovém okolí naši limity ‚L‘ Takže toto… Tenhle bod je (L plus epsilon) a toto je (L minus epsilon). Řeknete si: „Dobrá, myslím, že zvládnu dostat f(x) do epsilonového okolí ‚L‘ a udělám to definováním okolí kolem ‚c‘…“ Může to být tato hranice, ale klidně ji mohu udělat užší, můžu ji udělat tady. Takže jste našli jiné kladné číslo delta… Toto je (c plus delta) a toto je (c minus delta). Jste tedy schopní najít takové delta, že pokud vezmete libovolné ‚x‘ v rozmezí (c minus delta, c plus delta)… Vlastně funkce nemusí být v ‚c‘ definovaná, takže uvažujeme hodnoty ‚x‘, které nejsou rovny ‚c‘. Takže když vezmete libovolné ‚x‘ z toho intervalu, f(x) se bude nacházet v intervalu (L minus epsilon, L plus epsilon) Jak jinak to ještě můžeme říct? Můžeme říct, že když mi zadáte epsilon, já vám najdu takové delta… Napíšu to matematicky korektněji. Napíšu úplně tu stejnou věc, ale matematickým zápisem. Takže mi dáte… Nebo ještě jinak… Nechť epsilon je větší než 0… To je ta první část hry. Umíme najít delta větší než 0 takové, že pro všechna ‚x‘ z delta-okolí ‚c‘… Jak můžeme jinak říct, že ‚x‘ je z delta-okolí ‚c‘? Můžeme říct, že vzdálenost ‚x‘ a ‚c‘ je menší než delta. Tohle platí pro všechna ‚x‘ z delta-okolí ‚c‘. Jejich rozdíl je menší než delta. Takže když vezmete ‚x‘ z intervalu (c minus delta,c plus delta), a všechna tato ‚x‘ tomu vyhovují, Pak vzdálenost mezi f(x) a limitou ‚L‘ bude menší než epsilon. Takže to říká, že pokud limita existuje a rovná se ‚L‘, tak když zadáte jakékoliv kladné epsilon, může být klidně úplně maličké, umíme najít delta, takže můžeme definovat okolí bodu ‚c‘, že když vezmeme libovolné ‚x‘ z toho delta-okolí bodu ‚c‘… Tady říkáme, že vzdálenost ‚x‘ a ‚c‘ je menší než delta, takže ‚x‘ je v delta-okolí ‚c‘. Takže funkční hodnota v těchto bodech bude uvnitř daného okolí. f(x) bude v epsilonovém okolí ‚L‘. Vzdálenost f(x) a ‚L‘ bude menší než epsilon. f(x) se bude nacházet někde tady. To je vše, co nám epsilon-delta definice říká. V dalším videu uděláme důkaz existence limity pomocí této definice.
video