Hlavní obsah
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 4: Formální definice limity (epsilon-delta)Formální definice limity část 3: definice
Definice limity pomocí epsilonu a delta nám říká, že pro x blížící se k c se hodnota f(x) blíží k L, pokud pro libovolné ε>0 existuje δ>0 takové, že když je vzdálenost x od c menší než δ, tak je vzdálenost f(x) od L menší než ε. Jde pouze o matematickou formulaci naší intuitivní představy, že se k L můžeme přiblížit libovolně blízko. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V minulém videu jsme se snažili
přijít na přesnou definici limity. Když řeknete, že limita
f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ je ‚L‘, Říkáte vlastně
-a to je ta více méně přesná definice- že můžete dostat f(x) libovolně blízko ‚L‘
tím, že vezmete ‚x‘ dostatečně blízko ‚c‘. Zkusme to říct nějak lépe. Místo, abychom řekli
„libovolně blízko“, nazveme tu vzdálenost
nějakým číslem epsilon. Použiji řecké písmeno epsilon. Takže je to opravdu taková hra. Vy mi řeknete, jak blízko chcete
-tohle je ta hra- Vy mi řeknete,
jak blízko ‚L‘ má být f(x). To uděláte tak, že mi určíte
kladné číslo epsilon, o takové velikost, jaká má být
maximální vzdálenost f(x) od ‚L‘. Takže mi zadáte kladné číslo ‚epsilon‘. Epsilon znamená,
jak blízko ‚L‘ chcete být. Například, když je epsilon rovno 0,01,
znamená to, že chcete, aby f(x) bylo v okolí
‚L‘ o velikosti 0,01. Takže já řeknu: „No dobře, vy jste mi zadali epsilon a já
vám najdu takové kladné číslo, kterému budeme říkat ‚delta‘,
malé řecké písmeno delta, takové, že pokud je ‚x‘ v delta-okolí ‚c‘,
pak f(x) bude v epsilonovém okolí ‚L‘.“ Přesvědčme se, že je to opravdu to samé. V této žluté definici říkáme,
že můžeme f(x) dostat libovolně blízko ‚L‘ tím, že s ‚x‘ půjdeme
dostatečně blízko ‚c‘. Ve druhé definici, kterou jsem
pojal spíš jako hru, děláme to samé. Někdo nám řekne,
jak blízko ‚L‘ chce dostat f(x) a našim úkolem je najít delta takové,
že pokud ‚x‘ bude v delta-okolí ‚c‘, ‚L‘ bude v epsilonovém okolí limity ‚L‘. Takže děláme to samé. Hledáme takové ‚x‘, které
se nachází tak blízko ‚c‘, že f(x) je v požadované
vzdálenosti od ‚L’. Pojďme si to ještě ujasnit obrázkem. Řeknete mi, že chcete, aby f(x) bylo
v epsilonovém okolí naši limity ‚L‘ Takže toto… Tenhle bod je (L plus epsilon) a toto je (L minus epsilon). Řeknete si: „Dobrá, myslím, že zvládnu dostat f(x)
do epsilonového okolí ‚L‘ a udělám to definováním okolí kolem ‚c‘…“ Může to být tato hranice, ale klidně
ji mohu udělat užší, můžu ji udělat tady. Takže jste našli jiné
kladné číslo delta… Toto je (c plus delta) a toto je (c minus delta). Jste tedy schopní najít takové delta, že pokud vezmete libovolné ‚x‘
v rozmezí (c minus delta, c plus delta)… Vlastně funkce nemusí
být v ‚c‘ definovaná, takže uvažujeme hodnoty
‚x‘, které nejsou rovny ‚c‘. Takže když vezmete libovolné
‚x‘ z toho intervalu, f(x) se bude nacházet v intervalu
(L minus epsilon, L plus epsilon) Jak jinak to ještě můžeme říct? Můžeme říct, že když mi zadáte epsilon,
já vám najdu takové delta… Napíšu to matematicky korektněji. Napíšu úplně tu stejnou věc,
ale matematickým zápisem. Takže mi dáte…
Nebo ještě jinak… Nechť epsilon je větší než 0…
To je ta první část hry. Umíme najít delta větší než 0 takové, že pro všechna ‚x‘ z delta-okolí ‚c‘… Jak můžeme jinak říct,
že ‚x‘ je z delta-okolí ‚c‘? Můžeme říct, že vzdálenost
‚x‘ a ‚c‘ je menší než delta. Tohle platí pro
všechna ‚x‘ z delta-okolí ‚c‘. Jejich rozdíl je menší než delta. Takže když vezmete ‚x‘
z intervalu (c minus delta,c plus delta), a všechna tato ‚x‘ tomu vyhovují, Pak vzdálenost mezi f(x) a limitou
‚L‘ bude menší než epsilon. Takže to říká, že pokud
limita existuje a rovná se ‚L‘, tak když zadáte jakékoliv kladné epsilon,
může být klidně úplně maličké, umíme najít delta, takže můžeme
definovat okolí bodu ‚c‘, že když vezmeme libovolné
‚x‘ z toho delta-okolí bodu ‚c‘… Tady říkáme, že vzdálenost ‚x‘ a ‚c‘ je
menší než delta, takže ‚x‘ je v delta-okolí ‚c‘. Takže funkční hodnota v těchto
bodech bude uvnitř daného okolí. f(x) bude v epsilonovém okolí ‚L‘. Vzdálenost f(x) a ‚L‘ bude
menší než epsilon. f(x) se bude nacházet někde tady. To je vše, co nám
epsilon-delta definice říká. V dalším videu uděláme důkaz
existence limity pomocí této definice.