Limity II
Přihlásit se
Limity II (10/10) · 3:58

Věta o dvou policajtech - příklad Již jsme si nastínili výhody znalosti věty o dvou policajtech. Teď si jí vyzkoušíme na konkrétních funkcích.

Navazuje na Limity.
Máme tady grafy funkcí f(x) a g(x) a h(x). Vyberte a seřaďte tyto kartičky, aby vznikla složená nerovnost z hodnot f(x) a g(x) a h(x) pro hodnoty x kolem 2, ale ne přímo 2. Takže pro jakékoliv hodnoty x, které tu máme, řekněme, že x se rovná 3, vidíme, že h(3) je největší, f(3) je nejmenší a g(3) je mezi nimi. A to platí i pro všechny ostatní hodnoty x, které tady máme. Když se podíváme na hodnotu x se rovná 1, h(1) je největší, f(1) nejmenší a g(1) je mezi nimi. Pro všechny zobrazené hodnoty x je f(x) menší nebo rovno g(x), které je menší nebo rovno h(x). A jediné místo, kde se podle grafu rovnají, je, když se blížíme k x je rovno 2. Vypadá to, že všehcny funkce se blíží k 1. To je místo, kde by se mohlo jednat i o rovnost funkcí. Ale pojďme se zaměřit na to, co po nás opravdu chtějí. Potom to říká, že z toho vyplývá toto. A místo psaní f(x), g(x) a h(x) napsali skutečné předpisy těchto funkcí. Pojďme si jen připomenout, že f(x) se rovná 2 krát odmocnina z (x minus 1) minus 1. To je tato modrá křivka. Takže místo psaní f(x) můžeme psát 2 krát odmocnina z (x minus 1) minus 1 je menší nebo rovno g(x). g(x) je tento racionální výraz. Pojďme zase zpátky sem dolů. Máme tento racionální výraz. A toto bude menší nebo rovno h(x), které bylo, doufám, e na (x minus 2). Je to správně? Ano, je to e na (x minus 2) Zatím jsme tedy nahradili funkce f, g, a h jejich předpisy. A dále tohle znamená, že limita... hledáme vlastně limitu x jdoucí k 2 u těchto tří výrazů. Limita x jdoucí k 2 tohoto výrazu bude menší nebo rovna limity x jdoucí k 2 tohoto výrazu, který je tady, a ta limita bude menší nebo rovna limitě x jdoucí k 2 z tohoto výrazu, který je tady. A nakonec, hodnota limity x jdoucí k 2 tohoto celého výrazu je... A tady přichází na řadu věta o dvou policajtech. Jen si musíme připomenout... Pojďme se nad tím zamyslet. Můžeme vyřešit limitu x jdoucí k 2 tohoto výrazu? Limita x jdoucí k 2... Podívejme, odmocnina z (2 minus 1), Máme tedy odmocninu z (2 minus 1), což je odmocnina z 1. Takže máme 2 krát 1 minus 1. Což je 1. Tohle je e na (2 minus 2). To je buď 0 anebo také 1. Takže limita tohoto celého je větší nebo rovna 1, a je menší nebo rovna 1. Neboli je to přímo mezi 1 a 1. A jediná možnost, aby to bylo mezi 1 a 1, je pokud se to rovná 1. Tohle je tedy věta o dvou policajtech v akci. g(x) v oblasti, na kterou jsme se zaměřili, nebo v hodnotách x, které nás zajímají. g(x) bylo menší nebo rovno h(x), které bylo... nebo f(x) bylo menší nebo rovno g(x), které bylo menší nebo rovno h(x). A pak jsme použili limitu pro všechny funkce, pro x jdoucí k 2. Spodní funkce, f(x) se blížila 1. Vidíme to tady na grafu. Spodní funkce f(x) se blíží 1, h(x) se blíží 1, a tak g(x) se také musí blížit 1. A to také vidíme v tomto grafu. Tak jako tak, chtěli jsme jen zkontrolovat naši odpověď, pro náš dobrý pocit. A máme to správně.
video