Limity II
Přihlásit se
Limity II (8/10) · 7:02

Limita funkce pomocí goniometrických vzorců - příklad Pokud máme zjistit limitu funkce založené na goniometrických funkcích, je možné k úpravě použít goniometrické vzorce. Pojďme si to vyzkoušet.

Navazuje na Limity.
Pojďme zjistit, jestli umíme zjistit limitu θ (theta) jdoucí k 0 z 1 minus kosinus θ lomeno 2 sinus na druhou θ. A jako vždy, pozastavte si video a zkuste, jestli to dokážete vyřešit sami. Svádí nás to říct, že tohle je to samé jako limita 1 minus kosinus θ pro x jdoucí k... ne x, pro θ jdoucí k 0 lomeno limita pro θ jdoucí k 0 z 2 sinus na druhou θ. Teď oba výrazy, které by mohly být předpisy nějakých funkcí, by byly souvislé, kdybychom je zanesli do grafu. Byly by souvislé pro θ se rovná 0, takže limita se bude rovnat tomu, čemu se funkce rovnají v θ se rovná 0.. Toto se rovná 1 minus kosinus 0 lomeno 2 sinus na druhou z 0. Kosinus 0 je 1 a potom 1 minus 1 je 0. Sinus 0 je 0, umocněno na druhou, stále máme 0 krát 2, to je stále 0. Máme tedy 0/0. A ještě jednou, máme tady neurčité výrazy. A znovu, tento neurčitý výraz, kdy máme 0/0 neznamená, že jsme skončili. Neznamená to, že naše limita neexistuje. Znamená to jen... možná tu máme ještě jiné kroky, které můžeme udělat. Když máme nenulové číslo dělené 0, pak si mužeme říct, že limita neexistuje. Řeknete si prostě, že limita neexistuje. Pojďme zjistit, co s tím můžeme dělat dál, dívat se na to trošku z jiného úhlu. Kdybychom řekli, že... Řekněme... Použiju jinou barvu. Řekněme, že tohle je f(x). f(x) se rovná 1 minus kosinus θ lomeno 2 sinus na druhou θ. Zkusme to přepsat tak, aby nám v limitě pro θ jdoucí k 0 nevyšla úplně stejná 0/0. Můžeme to přepsat, máme tu goniometrické funkce, takže bychom mohli pro zjednodušení výrazu použít goniometrické rovnice, Teď mě napadá rovnice, ve které máme sinus na druhou θ a víme z Pythagorovy věty, z Pythagorovy goniometrické věty, vycházející z definice sinu a kosinu na jednotkové kružnici. Víme, že sinus na druhou θ plus kosinus na druhou θ se rovná 1. Neboli, víme že sinus na druhou θ je 1 minus kosinus na druhou θ. Můžeme to přepsat. Tohle se rovná 1 minus kosinus θ lomeno 2 krát (1 minus kosinus na druhou θ) . Tohle je 1 minus kosinus na druhou θ, takže to zatím není úplně zřejmé, jak to můžeme zjednodušit. Dokud si ale neuvědomíte, že na to můžete nahlížet jako na rozdíl čtverců. Když se na to díváte jako na ‚a‘ na druhou minus ‚b‘ na druhou, tak víme, že se na to můžeme dívat jako na (a plus b) krát (a minus b). Takže to můžu přepsat. Toto se rovná 1 minus kosinus θ lomeno 2 krát... Mohl bych to zapsat jako (1 plus kosinus θ) krát (1 minus kosinus θ) (1 plus kosinus θ) krát (1 minus kosinus θ) A teď tohle je zajímavé. Mám tu (1 minus kosinus θ) v čitateli a mám (1 minus kosinus θ) ve jmenovateli. Může nás lákat říct, tohle můžeme pokrátit s tímhle, tím bychom to zjednodušili a dostali f(x) se rovná 1 lomeno... a mohli bychom roznásobit jmenovatel krát 2. Mohli bychom říct 2 plus 2 kosinus θ. Můžeme se ptát: Jsou toto stejné věci? A měli bychom vlastně pravdu. Protože f(x), tady tohle je definováno, právě toto je definováno pro θ se rovná 0, Zatímco toto není definováno pro θ se rovná 0. Když se θ rovná 0, máme 0 ve jmenovateli. A aby bylo toto f(x) to stejné jako to předtím, musíme říct, že θ se nesmí rovnat 0. Ale pojďme se znovu zamyslet nad naší limitou. V podstatě chceme dosáhnout toho, že zjistíme, jaká je limita f(x) pro θ jdoucí k 0. A nemůžeme substituovat přímo, pokud tohle bereme vážně, protože když sem dáme 0, a tohle nám říká, že θ (theta) se nesmí rovnat 0, f(x) není v 0 definovené. Tenhle výraz je definován pro 0, ale tohle mi říká, že bych opravdu neměl dosazovat 0 do této funkce. Ale víme, že když dokážeme najít jinou funkci, která je definovaná... Která je úplně stejná jako f(x) kromě 0, a je v 0 spojitá. Můžeme tedy říct, že g(x) se rovná 1 lomeno (2 plus 2 kosinus θ). A pak víme, že tato limita je stejná jako limita g(x) pro θ jdoucí k 0. Ještě jednou, tyhle dvě funkce jsou identické kromě toho, že f(x) není definována pro θ se rovná 0, zatímco g(x) definována je. Ale limity pro θ jdoucí k 0 budou stejné. To jsme si již ukázali v předchozích videích. A je mi jasné, co si většina z vás myslí. Sale, tohle vypadá jako... Proč neuděláš tuhle algebru? Proč nepokrátíš tyto věci? Nenahradíš nulou všechny θ. To sice můžete udělat a dostali byste správnou odpověď, ale je potřeba, aby bylo matematicky jasné, co děláte. Pokud to uděláte, pokrátíte tyto závorky a najednou váš výraz bude definován v 0, budete mít jiný výraz. Nebo předpis jiné funkce. Aby bylo jasno, pokud chcete říct, že tohle je ta funkce, jejíž limitu hledáte, musíte sem dát toto omezení, abyste měli jistotu, že má stejný definiční obor. Naštěstí pro nás můžeme říct... Kdybychom měli jinou funkci spojitou bez této mezery, která by neměla tuto bodovou nespojitost, limity by byly stejné. Limita pro θ jdoucí k 0 z g(x), protože je v nule spojitá, řekněme, že to se rovná... Můžeme substituovat. Tohle se rovná g(0), což se rovná 1 lomeno (2 plus 2 krát kosinus 0). Kosinus 0 je 1, takže je to 1 lomeno (2 plus 2), což se rovná... Sem by se hodilo víření bubnů. Rovná se to 1/4. A máme hotovo.
video