Logaritmus součinu = součet logaritmů: důkaz

Pokud vás zajímá důkaz vzorců pro logaritmus, pak jste tady správně. Podíváme se na první vzorec pro logaritmus součinu. Vzorec vypadá následovně. Platí, pokud jsou čísla a, b a c kladná. A my se podíváme, kde se takový vzorec vzal. Logaritmy úzce souvisí s umocňováním. Proto i vzorce pro logaritmy vycházejí ze vzorců pro umocňování. Ale postupně. Nejprve si označíme jednotlivé výrazy, podvýrazy tohoto vzorce, aby se nám lépe pracovalo. Logaritmy na levé straně označíme x a y. To znamená, že logaritmus o základu a čísla b označíme jako x. Je dobré si to rovnou přepsat jako mocninu, to znamená a na x-tou je b. To jsou úplně stejné výrazy, stejná tvrzení, zcela ekvivalentní. Dále si druhý logaritmus o základu a čísla c označíme jako y. A v jazyce mocniny to znamená, že a na y je rovno c. Opět dva zcela ekvivalentní výrazy. Výrazy na levé straně vzorce jsou tedy x a y. Na pravé straně vzorce máme v logaritmu součin b krát c. Pojďme tedy vynásobit hodnoty b a c a uvidíme, k čemu dojdeme. Podle našeho označení je b rovno a na x-tou a c je rovno a na y. Nyní přichází klíčový krok důkazu. Použijeme vzorec pro součin mocnin, který říká, že v případě součinu mocnin sečteme exponenty. To znamená, že dostáváme a na x + y. Nyní se podíváme na začátek a konec této rovnosti. Vidíme, že b krát c je a na x + y. Tuto rovnost přepíšeme pomocí logaritmu a dostáváme logaritmus o základu a čísla b krát c, je x + y.a a na kolikátou je b krát c? Na x + y. Nyní se vrátíme v našem značení zpět. Místo x napíšeme logaritmus o základu a čísla b a místo y napíšeme logaritmus o základu a čísla c. A vidíme, že toto je vzorec, ke kterému jsme měli dojít. Vzorec, který jsme měli odvodit nebo dokázat. Ještě přepíšeme podmínky, abychom na ně nezapomínali. Všechna čísla, která do tohoto vzorce vstupují, musí být kladná. Na závěr důkazu bývá zvykem psát čtverec. Dříve se psala latinská zkratka QED, ale to bylo pro matematiky zbytečně dlouhé, tak to nahradili čtvercem.