Pythagorova věta
Pythagorova věta (6/14) · 9:39

Určení vzdálenosti dvou přímek Pomocí Pythagorovy věty určíme vzdálenost dvou bodů (přímek).

Navazuje na Obvod a obsah.
V tomto videu se naučíme zjistit vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic a uvidíme, že je to vlastně jen použití Pythagorovy věty. Začneme příkladem. Řekněme že máme bod... napíšu to tmavší barvou, abychom to viděli na grafu. Máme bod 3 čárka minus 4. Takže když ho chci zanést na graf, pohnu se o 1, 2, 3 a potom dolů o 4. 1, 2, 3, 4, tady to je, 3, minus 4. A řekněme, že taky mám bod (6; 0). Takže 1, 2, 3, 4, 5, 6 a potom už žádný pohyb po ose y. Sedíme přímo na ose x. Y souřadnice je 0, takže (6, 0). A já chci zjistit vzdálenost těchto dvou bodů. Jak daleko je tenhle modrý bod od toho oranžového? A nejdřív si můžete říct: "Ale já vůbec nevím, jak se to počítá. A proč mluvíte o Pythagorově větě? Tady není trojúhelník!" Jestli ho ještě nevidíte, nakreslím vím ho. Nakreslím vám tady trojúhelník. Vlastně použiju několik barev, aby to bylo jasné. Tady máme trojúhelník. A možná hned poznáte, že je pravoúhlý. Tady je pravý úhel. Základna jde rovně doprava, pravá strana jde rovně nahoru, takže svírají pravý úhel. Kdybychom uměli spočítat délku základny a této pravé strany, mohli bychom pomocí Pythagorovy věty spočítat délku téhle dlouhé strany, což je vlastně přepona proti pravému úhlu. Hledaná vzdálenost je vlastně přepona tohoto trojúhelníku. Napíšu to. Vzdálenost je rovná přeponě pravoúhlého trojúhelníku. Trošku to zvětším. Tohle je přepona. A potom máme stranu vpravo, která vede rovně nahoru. A máme základnu. Tak, jak spočítáme... Pojďme tuto stranu nazvat "d". To je délka přepony. A jak spočítáme délky obou odvěsen? Začneme spodní stranou. Jak je dlouhá? Můžete to dokonce spočítat na grafu, ale tady... napíšu to zeleně. Tady se x rovná 3 a tady se rovná 6, že? Je to tak? Hýbáme se rovně doprava. To je stejná vzdálenost jako tady. Takže ta vzdálenost je doslova x hodnota. Mohli byste jít oběma směry, protože to potom umocníme, takže nezáleží na znaménku. Takže vzdálenost tady bude 6 minus 3, že? 6 minus 3. To je tahle vzdálenost, která se rovná 3. Takže už známe základnu. Pro připomenutí, je to rovno změně x. Rovná se to konečné x minus počáteční x. 6 minus 3. To je naše delta x. A úplně stejnou úvahou, tahle výška bude změna y. Tady nahoře se y rovná 0. Tam skončíte. Je to vyšší hodnota y. A tady dole se y rovná minus 4. Takže změna y je 0 minus minus 4. Prostě větší hodnota y minus ta menší, jako větší hodnota x minus ta menší. Za chvíli to umocníme, takže i kdybyste to udělali opačně, měli byste záporné číslo, ale stejný výsledek. Tohle je tedy 4. Takže tahle strana je rovná 4. Mohli bychom to také spočítat na grafu. A tahle strana je dlouhá 3. A teď můžeme použít Pythagorovu větu. Tohle je vzdálenost na druhou. Tahle vzdálenost na druhou bude rovná změně x na druhou, změně x na druhou plus změně y na druhou. Nic složitého. Někdy se tomu říká vzoreček pro vzdálenost. Je to jenom Pythagorova věta. Tahle strana na druhou plus tahle na druhou se rovná přepona na druhou, protože je to pravoúhlý trojúhelník. Tak to pojďme použít s těmito čísly, které tu máme. Vzdálenost na druhou je tedy delta x na druhou, takže 3 na druhou, plus delta y na druhou, plus 4 na druhou, což se rovná 9 plus 16, a to je 25. Takže vzdálenost je... Napíšu to jako d na druhou se rovná 25. d, vzdálenost, se rovná... Nepoužijete záporné řešení, vzdálenost není záporná. Takže je jen jedno řešení, kladná odmocnina 25, což je 5. Takže tahle vzdálenost je 5. Teď se podíváme na tuhle vzdálenost, to je náš původní problém. Jak daleko je tenhle bod od tamtoho? Je vzdálený 5 jednotek. Takže tomuhle se říká vzoreček pro vzdálenost, ale je to jen Pythagorova věta. A jen abyste viděli všechny způsoby, kterými ho můžete použít, někdy se říká: "Když mám dva body, řekněme x1 a y1, to bude jeden z nich. A druhý bod bude x2 a y2." Někdy uvidíte, že tenhle vzoreček, se používá různě. Ale uvidíte, že vzdálenost se rovná... a vypadá to jako komplikovaný vzoreček, ale já chci, abyste viděli, že je to jen Pythagorova věta. Vzdálenost se rovná x2 minus x1, to celé na druhou, plus y2 minus y1, to celé na druhou. Často to najdete v učebnicích jako vzoreček pro vzdálenost. A je úplná ztráta času se to učit zpaměti, protože je to jenom Pythagorova věta. Tady je změna v x. A nezáleží, které x si vezmete první, protože i když dostanete záporné číslo, po umocnění už nebude záporné. Tady to je změna y. Tedy když umocníte obě strany, odmocnina zmizí a tohle bude vzdálenost na druhou a ta se rovná tomuhle výrazu na druhou, deltě x na druhou, změně v x... delta znamená změna... delta x na druhou plus delta y na druhou. Nechci vás zmást... Delta y je prostě změna y. To jsem asi měl říct už dřív. Ale pojďme to použít ještě znovu, vyberu náhodné body. Řekněme, že mám bod, třeba... 1, 2, 3, 4, 5, 6. Minus 6, minus 4. A řekněme, že hledáme vzdálenost mezi ním a bodem 1 a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. A bodem (1, 7). Takže hledám tuhle vzdálenost. Je to přesně stejný princip. Prostě použijeme Pythagorovu větu. Spočítáme tuhle vzdálenost, což je změna x, a tuhle vzdálenost, změnu y. Tato vzdálenost na druhou plus tato na druhou se rovná hledané vzdálenosti na druhou. Tak pojďme na to. Naše změna x... Už víte, že nezáleží, kterou hodnotu vezmete jako první. Obvykle vezmete tu větší hodnotu x minus menší hodnota x, ale jde to oběma směry. Takže můžeme napsat, že vzdálenost na druhou se rovná... Jaká je změna x? Vezmeme větší x minus menší x, 1 minus minus 6. 1 minus minus 6, to celé na druhou, plus změna y. Tady je větší y. Je to 7. 7 minus minus 4. 7 minus minus 4, to celé na druhou. Vybral jsem náhodná čísla, takže to asi nevyjde úplně hezky. Takže ta vzdálenost na druhou je 1 minus minus 6. To je 7, 7 na druhou. Viděli byste to i tady, kdybyste to spočítali. Jdete 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. To je naše číslo tady. To je naše změna x. Plus 7 minus minus 4. To je 11. To je tahle vzdálenost, můžete to spočítat na mřížce. Jdeme o 11 nahoru. Prostě 7 minus minus 4, a máte vzdálenost 11. Takže 11 na druhou se rovná d na druhou. Vezmu si na to kalkulačku. Takže vzdálenost 7 na druhou plus 11 na druhou se rovná 170, to bude druhá mocnina vzdálenosti. d na druhou je 170. Takže odmocnina ze 170 je 13,0... Zhruba 13,04. Takže tahle vzdálenost, kterou jsme počítali, je asi 13,04. Doufám, že to bylo užitečné.
video