Pythagorova věta
Přihlásit se
Pythagorova věta (12/14) · 9:03

Bhaskarův důkaz Pythagorovy věty Ukážeme si elegantní důkaz Pythagorovy věty, který ve 12. století rozvinul indický matematik Bhaskara.

Navazuje na Obvod a obsah.
Ukážu vám důkaz z 12. století, který provedl indický matematik Bhaskara. Začneme se čtvercem. Zkusím nakreslit čtverec. Nakreslím ho trochu nakloněný, protože důkaz bude tak jednodušší. Takže zkusím nakreslit něco, co docela vypadá jako čtverec. Budete muset snést, pokud to není přesný čtverec. To vypadá docela dobře. Řekněme, že to je čtverec. Takže zde máme pravý úhel. Zde máme pravý úhel. Zde máme pravý úhel. Zde máme pravý úhel. Všechny strany musejí mít stejnou délku. Řekněme, že všechny mají délku "c". Napíšu to žlutou. Takže všechny strany čtverce měří "c". Teď vytvořím čtyři trojúhelníky uvnitř čtverce. Udělám je tak, že postupně spustím přímky. Tady povedu přímku přímo dolů. Spustím přímku vertikálně a nakreslím takovýto trojúhelník. Takže tady půjdu vertikálně a zde horizontálně. Protože jedna přímka vede dolů a druhá rovně, musí zde být pravý úhel. Z tohoto vrcholu půjdu nahoru. Protože jsme šli rovně a nahoru, zde musí být pravý úhel. A z tohoto vrcholu půjdu horizontálně. Přepokládám, že to tak skutečně dělám. Takže i zde musí být pravý úhel. A tady musí být pravý úhel. Vidíme, že jsme čtverec rozdělili na 4 pravoúhlé trojúhelníky, mezi kterými se ukrývá čtyřúhelník. Zatím nevíme, jestli je to obdélník, nebo dokonce čtverec. Zajímá mě, jestli tyto trojúhelníky jsou shodné. Na první pohled vidíme, že mají všechny stejně dlouhou přeponu. Všechny přepony mají délku "c". Strana naproti pravému úhlu má u všech trojúhelníku délku "c". Pokud se ukáže, že zbylé dva úhly jsou také stejné u všech trojúhelníků, bude jasné, že jsou shodné. Pokud máte všechny úhly stejné a k tomu jednu korespondující stranu stejnou, tak trojúhelníky jsou shodné. Můžeme si také ukázat, že pokud označím tento úhel theta, tak tento úhel bude mít velikost 90 minus theta, protože jsou spolu komplementární. To víme, protože dohromady tvoří tento roh čtverce, tedy 90 stupňů. Pokud je toto je 90 minus theta, musí tento úhel být dopočet do 90, protože součet všech úhlů v trojúhelníku dává 180. Takže víme, že tohle musí být zase theta. Tohle potom je analogicky 90 minus theta. Myslím, že už víte, jak to bude dál. Když tenhle je 90 minus theta, tento musí být theta. A pokud tohle je theta, tohle je 90 minus theta. A pořád dokola. 90 minus theta a theta. Vidíme, že všechny čtyři trojúhelníky mají tyto úhly: theta, 90 minus theta a 90 stupňů. Všechny mají naprosto stejné úhly. Minimálně jsou tedy podobné. Ale navíc mají i stejné přepony. Takže jsme zjistili, že všechny tyto trojúhelníky jsou shodné. Teď si pojďme označit delší odvěsnu trojúhelníků jako "b". Tuto vzdálenost označuji tedy jako "b". Stejně tak označím kratší odvěsnu každého trojúhelníka písmenkem "a". Tedy tuhle, tuhle, tu a tu označím jako "a". Nakreslím ji tady vedle. Tato vzdálenost je "a". Teď uděláme něco zajímavého. Nejdříve se zamyslete nad obsahem celého čtverce. Jak ho můžeme vyjádřit v závislosti na "c"? Je to jednoduché, obsah čtverce je c krát c. Obsah tohoto obrazce je tedy c na druhou. Teď trochu jinak uspořádám dva trojúhelníky a vypočítám obsah nového útvaru v závislosti na "a" a "b". Snad se tak dostaneme k Pythagorově větě. Zkopíruji tento původní obrázek, abychom ho pořád viděli, protože je důležitý. Jen to zkopíruji a vložím. Tady tedy máme původní nákres. Tohle ještě umažu. Teď to převrátím, sledujte. Tento trojúhelník převrátím pod tento trojúhelník napravo. Udělám to dalším zkopírováním. Není to tak jednoduché. Maličko to obejdu. Nejdřív to vyříznu a poté vložím. Vložený trojúhelník připojím tady. Jen dokreslím čáry, které jsem umazal. Takže tady nám chybí čára a taky tady. Tahle šla nahoru a dolů a tato doprava a doleva. Takže jsem pohnul touhle částí a umístil ji sem. Teď udělám to samé s tímto horním trojúhelníkem. A přesunu ho sem dolů. Nedělám nic jiného než přeskládávám původní obrazec. Snažím se označit co nejlépe tuto oblast. Uříznu a vložím. A posunu jej právě se dolů. Umazala se mi při tom spodní strana, takže jí dokreslím. Tedy akorát jsem ho sem přesunul. Trojúhelník, který právě vybarvuji, je teď tady. No a tento je přesunutý sem. Prostřední čtverec je pořád na stejném místě. Snad se v této přestavbě dokážete zorientovat. Zeptám se vás: Jak můžeme vyjádřit obsah nového obrazce? Logicky je stejně velký jako ten původní. Jen jsme přeskupili části. Jak to vyjádříme pomocí "a" a "b"? Klíčové je rozpoznání délky této strany. Jak je dlouhá tato spodní strana? Skládá se ze dvou částí, první je "b" a druhá "a". Tedy délka celé strany je a plus b. Samo o sobě to je zajímavé. Je dobré si uvědomit, že tento kousek, který byl na původním obrázku tady, je taky "a". Můžeme tedy vytvořit čtverec o straně "a". Ještě ho vybarvím. Tento čtverec má obsah a na druhou. Vezmu si lépe viditelnou barvu. Tedy tento obsah je a na druhou. Teď nás zajímá, jaký je obsah zbytku tohoto útvaru. Pokud je tohle délky "a" a tohle také, a zároveň celý spodek má délku a plus b, potom víme, co zůstane když odečteme "a". Bude to "b". Celá tahle strana má délku a plus b a tohle je "a", potom tohle je "b". Tedy zbytek nového útvaru, neboli to, co teď vybarvuji, můžeme vyjádřit jako b na druhou. Plocha modrého čtverce je tedy b na druhou. Plocha celého obrazce je potom a na druhou plus b na druhou. Což, naštěstí pro nás, je rovno obsahu původního obrazce, který můžeme zapsat jako c na druhou. Bude se to tedy rovnat c na druhou. Všechno funguje. Myslím, že Bhaskara stylově dokázal platnost Pythagorovy věty.
video