Pythagorova věta
Pythagorova věta (14/14) · 10:23

Další důkaz Pythagorovy věty Dokážeme si Pythagorovu větu jiným způsobem, tentorkát s využitím rovnoběžníků.

Navazuje na Obvod a obsah.
Pokud jste si ještě nevšimli, stal jsem se trochu posedlým dokazováním Pythagorovy věty nejrůznějšími způsoby. Tak se pusťme do dalšího. A jako u každého, nakresleme si pravoúhlý trojúhelník. Já ho nakreslím tak, aby přepona byla naspod. Takže tohle je přepona mého trojúhelníku. Snažím se ho nakreslit co největší, aby bylo místo na práci. Takže tohle bude má přepona. A řekněme, že tohle je delší odvěsna. Můžeme je mít stejně dlouhé, ale nakreslím ji, aby byla trochu delší. Nazveme ji strana 'a'. A nakresleme tuhle stranu. Musí být pravoúhlý, takže půjde takto. A to je strana 'b'. Jen o trochu prodloužím stranu 'a'. Takže rozhodně vypadá jako pravoúhlý. A tohle je náš pravý úhel. První věc co udělám je, že vezmu tento trojúhelník a otočím ho v protisměru hodinových ručiček o 90°. Takže pokud ho otočím proti směru hodinových ručiček, doslova ho takto otočím a nakreslím jeho shodnou verzi. Takže ho otočím o 90°. A až to udělám, přepona bude takto vzpřímeně. Snažím se to nakreslit ve stejném měřítku. Strana 'a' bude pak vypadat nějak takto. Měla by být rovnoběžná s touhle stranou. Tak uvidíme jak dobře ji nakreslím. Takže to je strana 'a'. A pokud bych se snažil, tak by to tu bylo 90°. Rotace odpovídajících stran bude vždy 90° To bude 90°. To bude 90°. Teď nakreslím stranu 'b'. Takže to bude vypadat asi nějak takto. To bude strana 'b'. A pravý úhel je teď tady. Otočil jsem to o 90° proti směru hodinových ručiček. A teď chci sestrojit rovnoběžník. Ještě to označím, tohle je strana 'c'. A co udělám je, že vezmu tento bod a posunuho nahoru o 'c'. Takže tohle je také 'c'. A jaká je tato délka? Z tohoto bodu do tohoto. Malá nápověda je, že jde o rovnoběžník. A tahle strana bude rovnoběžná s touto stranou. Udržuje si stejnou vzdálenost. A protože se posunula o stejnou vzdálenost horizontálně i vertikálně, bude mít i stejnou délku. Takže bude mít délku 'a'. Další otázka, kterou pro vás mám: „Jaký je obsah rovnoběžníku, který jsem právě sestrojil?“ Abychom o tom mohli přemýšlet, překreslím tu část obrázku tak, aby rovnoběžník seděl na zemi. Takže tohle je 'a', tohle je 'a'. Tohle je 'c' a tohle je 'c'. A když se podíváte sem, uvidíte nápovědu. Výška rovnoběžníku… Výška rovnoběžníku je dána tímto. Tato strana je kolmá k základně rovnoběžníku. Takže výška rovnoběžníku je také 'a'. Takže jaký je obsah? Obsah rovnoběžníku je základna krát výška. Takže obsah tohoto rovnoběžníku bude 'a' na druhou. Teď uděláme to stejné, jen otočme trojúhelník na druhou stranu. Takže o 90° ve směru hodinových ručiček. A místo toho abychom zafixovali tento bod, zafixujeme tento bod. Takže co dostaneme? Strana 'c', pokud ji takto otočíme, bude přímo tady. Snažím se to nakreslit co nejlépe. Takže tohle je strana 'c'. Strana 'b' bude vypadat nějak takto. Bude rovnoběžná s tímto. Tady bude pravý úhel. Nakreslím to takto, vypadá to dobře. A strana 'a' bude tady. Takže tohle je 'a'. Tohle je 'b'. Udělám 'b' modře. A náš pravý úhel je tady. A udělejme stejné cvičení, sestrojme tady rovnoběžník. Tohle je výška 'c', tohle také. A podle stejné logiky, pokud je tohle 'b', tak tohle je také 'b', jsou rovnoběžné, drží si stejnou vzdálenost v horizontálním i vertikálním směru. Víme to, protože jsou rovnoběžné. Takže dole je 'b', nahoře je 'b'. Teď, jaký je obsah tohoto rovnoběžníku? Opět, pro lepší představu, můžeme si to překreslit, Tohle je tahle strana, další strana je tady. Obě mají délku 'b'. A máte strany délky 'c'. Tohle je 'c', tohle je 'c'. Jaká je výška? Vidíte to přímo tady. Jeho výška má délku 'b'. Vidíme to přímo tady. Máme tu pravý úhel. Otočili jsme to o 90°, takhle jsme to sestrojili. Když tohle víme, obsah je základna krát výška. Obsah rovnoběžníku je 'b' na druhou. Teď začnou být věci zajímavými. Co teď udělám je, že zkopíruji a vložím tuhle část. Protože tohle je pro mě nejzajímavější část obrázku. Uvidíme, jak dobře to označím. Označím tuhle část. Zkopíruji to, posunu se dolů a vložím. Tento obrázek, který jsme sestrojili. Je zřejmé, jaký je jeho obsah, tohoto složeného obrázku. Jen tu umažu pár věcí. Whoops, chtěl jsem to udělat černou, aby se to vyčistilo. Jen to tu vyčistím. Abychom dostali jen tu část, kterou chceme. Čistím tohle a tohle. Vlastně, smažu i tady tohle, i když víme, že délka je 'c'. A vlastně to nakreslím tady. To víme z původního obrázku. Víme, že tohle je 'c', tahle výška je 'c', tohle dole je také 'c'. Ale má otázka pro vás zní: „Jaký je obsah tohoto složeného útvaru?“ Je to 'a' na druhou plus 'b' na druhou. Obsah je 'a' na druhou plus 'b' na druhou. Obsah těchto dvou rovnoběžníků. Jak můžeme přeskládat části tohoto tvaru, abychom vyjádřili obsah pomocí 'c'? Mohlo vás to trknout, když jsem tu kreslil tohle. Víme, že tohle má délku… … chci to udělat bíle… Víme, že tahle strana má délku 'c'. Vychází to z naší původní konstrukce. Whoops, ztratil jsem svůj obrázek. Tohle je 'c', tohle je 'c' a tohle nahoře je 'c'. A co můžeme udělat, můžeme vzít tento horní trojúhelník, který je naprosto shodný s naším původním trojúhelníkem, a posunout ho dolů. A pamatujte, celý tento obsah, včetně trojúhelníku nahoře, je 'a' na druhou plus 'b' na druhou. A posuneme tu část sem dolů, což je náš původní trojúhelník. Ale co se stane, když to vezmeme… Takže to vyjmu a vložím… A vše co dělám je, že posouvám trojúhelník dolů. Takže to teď vypadá takto. Jen jsem přeskládal obsah, který je 'a' na druhou plus 'b' na druhou. Takže celý tento obsah, tento čtverec, je stále 'a' na druhou plus 'b' na druhou. 'a' na druhou je celý tento obsah zde, předtím to byl rovnoběžník, jen jsem tu část posunul dolů, 'b' na druhou je celý tento obsah zde. Co to bude vyjádřeno pomocí 'c'? Víme, že tohle celé je čtverec 'c' na 'c'. Takže obsah pomocí 'c' je 'c' na druhou. Takže 'a' na druhou plus 'b' na druhou je 'c' na druhou. A tímto jsme znovu dokázali Pythagorovu větu.
video