Pythagorova věta
Přihlásit se
Pythagorova věta (11/14) · 8:56

Garfieldův důkaz Pythagorovy věty Důkaz Pythagorovy věty podle Jamese Garfielda.

Navazuje na Obvod a obsah.
V tomto videu si ukážeme studijní důkaz Pythagorovy věty, jenž byl poprvé objeven, podle toho, co víme, Jamesem Garfieldem v roce 1876. Strhujícím faktem je, že nebyl profesionálním matematikem. Jamese Garfielda můžete znát jako 20. prezidenta USA. Prezidentem byl zvolen 4 roky poté, v roce 1880, a stal se jím v roce 1881. Na tento důkaz přišel, když byl členem dolní poslanecké sněmovny. Dalším strhujícím faktem je, že Abraham Lincoln nebyl jediným americkým politikem, ani jediným americkým prezidentem, který měl rád geometrii. Garfield si uvědomil, že můžeme sestrojit pravoúhlý trojúhelník... Budu se snažit jeden sestrojit. Řekněme, že tato strana má délku 'b' a tato strana má délku 'a', a řekněme, že tato strana je přepona mého pravoúhlého trojúhelníku a má délku 'c'. Upřesním, že toto je pravoúhlý trojúhelník. Garfield v podstatě převrátil a otočil tento trojúhelník, aby zkonstruoval další, který je shodný s tím prvním. Narýsuji to. Takže budeme mít stranu 'b', která leží na stejné přímce jako strana 'a'. Nepřekrývají se. Takže tohle je strana o délce 'b', pak pod pravým úhlem strana o délce 'a' a pak je tu strana o délce 'c'. Nejprve musíme zapřemýšlet, jak velký úhel je mezi těmito stranami. Jak velký ten záhadný úhel bude? Vypadá to jako něco, ale pojďme se podívat, jestli můžeme dokázat, že to skutečně je to, co si myslíme. Když se podíváme na tento původní trojúhelník... Nazveme tento úhel théta. Jaký bude úhel mezi stranami 'a' a 'c'? Jak velký ten úhel bude? Théta plus tento úhel se musí v součtu rovnat 90, protože tento zbývající úhel je také 90. Takže 90 a 90 a dostanene 180 stupňů pro vnitřní úhly tototo trojúhelníku. Když jsou tyto dva úhly dohromady 90, tak tento úhel je 90 mínus théta. Sestrojili jsme tento trojúhelník, aby byl stejný jako ten původní, takže úhel odpovídájící úhlu théta bude také théta. Tenhle úhel bude 90 mínus théta. Když víme, že tenhle úhel je théta a tenhle 90 mínus théta, jak velký bude náš úhel? Všechny dohromady mají 180 stupňů. Je tu théta plus (90 mínus théta) plus náš záhadný úhel rovná se 180. Théty se navzájem zkrátí, théta mínus théta, takže 90 plus náš záhadný úhel rovná se 180 stupňů. Odečteme od obou stran rovnice 90 a zbyde nám, že náš záhadný úhel se rovná 90 stupňům. Takže to nám vyšlo dobře. Trochu to ujasním. Bude to pro nás užitečné. Nyní můžeme definitivně říct, že tento úhel má 90 stupňů. Je to tedy pravý úhel. Teď sestrojíme lichoběžník. Tato strana 'a' rovnoběžná s touto stranou 'b', jak jsme je sestrojili. tohle je jen jedna strana, vede přímo nahoru, a teď jen spojíme tyto dvě strany. Je několik způsobů, jak se zamyslet nad obsahem tohoto lichoběžníku. Buďto se na to můžeme dívat jen jako na lichoběžník a spočítat jeho obsah, nebo bychom se na to mohli dívat jako na součet obsahů jednotlivých částí. Nejprve se na to pojďme dívat jako na lichoběžník. Co víme o obsahu lichoběžníku? Obsah lichoběžníku bude výška lichoběžníku, což je a plus b, krát průměr vrchní a spodní základy. Takže obsah lichoběžníku se rovná (a plus b) krát 1/2 krát (a plus b). Podvědomě berete výšku lichoběžníku krát průměr spodní a vrchní základy, což vám dá obsah lichoběžníku. Jak můžeme spočítat obsah lichoběžníku pomocí jeho částí? Jestli spočítáme vše správně, měli bychom dojít ke stejnému výsledku. Takže jak jinak můžeme přijít na jeho obsah? Mohli bychom říct, že je to obsah těchto dvou pravoúhlých trojúhelníků. Obsah každého z nich je 1/2 a krát b. Ale jsou tu dva. Nakreslím to modrou barvou. Ale jsou tu dva pravoúhlé trojúhelníky, takže je pojďme vynásobit 2. Takže to by bylo 2 krát 1/2 krát a krát b, čímž bereme v potaz jak ten spodní, tak ten vrchní pravoúhlý trojúhelník. A jaký je obsah tohoto velkého trojúhelníku? Vybarvím ho zeleně. To je celkem jasné. Je to prostě 1/2 c krát c. Takže plus 1/2 c krát c, což je 1/2 c na druhou. Teď to pojďme trochu zjednodušit a uvidíme, co nám vyjde. Můžete hádat, kam tohle všechno směřuje. Uvidíme, co dostaneme. Tohle můžeme přeuspořádat. Takže 1/2 krát (a plus b) na druhou se rovná 2 krát 1/2... To bude prostě 1. ...takže se to bude rovnat a krát b plus 1/2 krát c na druhou. Nelíbí se mi tady ty poloviny, takže vynásobíme obě strany rovnice 2. Obě strany vynásobím 2. Nalevo mi zbylo (a plus b) na druhou a napravo mi zbylo 2ab krát... 2 krát 1/2 c na druhou, z toho zbyde c na druhou. Plus c na druhou. Co se stane, když vynásobíte (a plus b) krát (a plus b)? Co je (a plus b) na druhou? To je a na druhou plus 2ab plus b na druhou. Napravo je stále všechno toto. Nerad přehazuji barvy, zkopíruji si to. Pořád se to rovná tomu samému. Jak to můžeme zjednodušit? Je něco, co bychom mohli odečíst od obou stran? Samozřejmě, že ano. Jak na levé, tak na právě straně máte 2ab, takže pojďme od obou stran odečíst 2ab. Když od obou stran odečtete 2ab, co vám zbyde? Zbyde vám Pythagorova věta, a na druhou plus b na druhou rovná se c na druhou. Ohromující. A za to můžeme poděkovat 20. prezidentu USA, Jamesi Garfieldovi. A to je ohromující, poněvadž Pythagorova věta tu byla tisíce let před Jamesem Garfieldem a on byl schopen k ní přispět, ačkoliv si s ní prostě jen pohrával, zatímco seděl v dolní poslanecné sněmovně.
video