Pythagorova věta
Pythagorova věta (1/14) · 13:03

Pythagorova věta Co je to Pythagorova věta a jaké je její použití? Dozvíte se na příkladech.

Navazuje na Obvod a obsah.
Pojďme si nyní promluvit o asi nejznámější matematické poučce. A tou je Pythagorova věta. Zabývá se pravoúhlým trojúhelníkem. Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, který má jeden úhel o velikosti 90 stupňů. To, co právě kreslím, je náš úhel o velikosti 90 stupňů. Pokud jste nikdy neviděli pravý úhel, tak si všimněte, že spodní strana vede zleva doprava, a tato strana vede shora dolů. Tyto dvě strany jsou navzájem kolmé, úhel mezi nimi má velikost 90 stupňů. Říkáme mu pravý úhel. Pythagorova věta říká, že pokud se zabýváme pravoúhlým trojúhelníkem... S dovolením to napíšu. Pokud se tedy zabýváme pravoúhlým trojúhelníkem, což je trojúhelník, který má jeden vnitřní pravý úhel, čili úhel o velikosti 90 stupňů, je vzájemný vztah mezi stranami trojúhelníku následující. Nazvěme si strany, tato strana je "a", strana "b" a strana "c". Pamatujte si, že strana, kterou jsme označili "c", se nachází naproti pravému úhlu. Je důležité si uvědomit, která strana je která. Pythagorova věta říká: Pouze a jedině v pravoúhlém trojúhelníku platí, že "a" na druhou plus "b" na druhou se rovná "c" na druhou. Teď to můžeme použít. Pokud známe dvě z proměnných, můžeme použít Pythagorovu větu a pomocí této rovnice určit třetí z proměnných. Teď se naučíme trochu terminologie. Tato dlouhá strana, nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku, strana, která se nachází naproti pravému úhlu, ta, kterou jsme si nazvali "c", ta se nazývá přepona. Skutečně nóbl název pro jednoduchou věc. Nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku, strana naproti pravému úhlu, se nazývá přepona. Teď, když už známe Pythagorovu větu, pojďme ji použít. Protože je fajn něco znát, ale je mnohem zábavnější umět to použít. Řekněme, že máme pravoúhlý trojúhelník. Nakreslím hezčí trojúhelník než ten předchozí. Toto je pravoúhlý trojúhelník. Tato strana má délku 9. Tato strana má délku 7. A já se ptám, jak dlouhá je tato strana? Měli bychom jí říkat strana "c". Zopakujme si, strana "c" je přepona. Je to nejdelší strana. Už víme, že součet druhých mocnin obou dvou stran je roven druhé mocnině strany "c". Podle Pythagorovy věty 9 na druhou plus 7 na druhou je rovno "c" na druhou. 9 na druhou je 81, plus 7 na druhou je 49 80 plus 40 je 120, zbývá nám 1 plus 9, což je 10. Součet dohromady nám dává 130. Napíši to následujícím způsobem. Levá strana se rovná 130, a to se rovná "c" na druhou. A čemu se tedy rovná "c"? Přepíšu to sem nahoru. "c" na druhou se rovná 130, nebo také můžeme napsat, že "c" se rovná druhé odmocnině ze 130. Budeme brát v úvahu pouze kladné řešení odmocniny, protože "c" musí být kladné. Mluvíme přece o délce. Proto nebudeme brát v úvahu záporné řešení odmocniny. Budeme brát v úvahu pouze kladné řešení odmocniny. Pokud bychom to chtěli trochu zjednodušit, víme, jak na to. 130 je 2 krát 65 a to je 5 krát 13. To jsou prvočísla. Zjednodušili jsme to nejvíce, co to šlo. "c" se rovná druhá odmocnina ze 130. Pojďme si vyzkoušet podobný příklad. Měl bych nechat Pythagorovu větu takto, abychom měli stále na očích, čím se zabýváme. Mějme trojúhelník, který vypadá takto. Podívejme. Řekněme, že vypadá nějak takto. Toto je pravý úhel, nahoře. Tuto stranu označme "a". Tato strana má délku 21. A tato strana má délku 35. Výpočet "a" se přímo nabízí, 21 na druhou plus 35 na druhou se rovná "a" na druhou. Ale pozor! V této situaci je 35 přepona. 35 je naše "c". Je to nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku. Pythagorova věta nám říká, že "a" na druhou plus druhá strana trojůhelníku, která není nejdelší, na druhou, (česky těm kratším stranám říkáme odvěsny). "a" na druhou plus 21 na druhou se rovná 35 na druhou. Vždy musíte mít na paměti, že "c" na druhou, to "c", o kterém mluvíme, je vždy nejdelší stranou pravoúhlého trojůhelníku. Je to strana protilehlá k pravému úhlu. Strana, která leží naproti pravému úhlu. Takže "a" na druhou plus 21 na druhou se rovná 35 na druhou. A zde vlastně máme? 21 na druhou - jsem v pokušení použít kalkulačku, ale neudělám to. Takže 21 krát 21. 1 krát 21 je 21, 2 krát 21 je 42. Výsledek je 441. 35 na druhou. Opět jsem v pokušení použít kalkulačku, ale neudělám to. 35 krát 35. 5 krát 5 je 25. Dvojka zůstává. 5 krát 3 je 15. plus 2 je 17. Sem si napíšeme 0 a tím se toho zbavíme. 3 krát 5 je 15. 3 krát 3 je 9, plus 1 je 10. A teď pokračujeme 5 plus 0 je 5, 7 plus 5 je 12, 1 plus 1 jsou 2, jedničku přepíšu dolů. 1225. Takže dostáváme, že "a" na druhou plus 441 se rovná 35 na druhou, což je 1225. Teď můžeme odečíst 441 od obou stran rovnice. Na levé straně zůstalo "a" na druhou. Na pravé straně zůstane co? Zůstává 5 mínus 1 jsou 4. Napíšu to s dovolením ještě jednou o něco níže. Mínus 441. Zopakujme si, na levé straně se nám čísla vyruší. "a" na druhou se rovná... Zde na pravé straně, co musíme udělat? Toto je větší než toto, ale 2 není větší, než 4, takže... si budeme muset vypůjčit nebo přeskupit. Záleží, jak se na to díváte. Dostáváme 12. Zde nám zůstane 1. 1 není větší než 4, proto si musíme půjčit ještě jednou. Tohoto se zbavíme a dostáváme 11. 5 mínus 1 jsou 4. 12 mínus 4 je 8. 11 mínus 4 je 7. "a" na druhou se rovná 784. A to můžeme přepsat, že "a" se rovná druhé odmocnině ze 784. A znovu jsem ve velkém pokušení použít kalkulačku ale neudělám to. Nepoužiju kalkulačku. Tohle se rovná dvakrát co? 392 A 390 je 2 krát 78. A to je dvakrát co? Toto je 2 krát 196. To je v pořádku. 2 krát 196. 196 je 2 krát - rád bych se přesvědčil, že jsem neudělal nějakou chybu z nepozornosti. 196 je 2 krát 98. A pokračujeme stále níž. 98 je 2 krát 49. Samozřejmě víme, co to je. Všimněte si, že teď máme 2 krát 2 krát 2 krát 2. To je 2 na čtvrtou. Čili 16 krát 49. Takže "a" se rovná druhé odmocnině z 16 krát 49. Vybral jsem tato čísla, protože obě jsou druhé mocniny. Tedy je to rovno druhé odmocnině z 16, to jsou 4 krát druhou odmocninou ze 49, což je 7. To je celkem rovno 28. Pravá strana se rovná 28, jak nám vyšlo podle Pythagorovy věty. Pojďme si vyzkoušet ještě jeden příklad. Cvičení není nikdy dost. Mějme jiný trojúhleník. Namaluju ho velký. Tady ho máme. Toto je náš trojúhelník a zde je pravý úhel. Tato strana má 24. Tato strana má 12. Tuto stranu nazvěme "b". A ještě jednou, vždy je potřeba najít odvěsnu. Je to ta nejdelší strana, která leží naproti úhlu o velikosti 90 stupňů. Možná chcete říct: "Ale já nevím, která strana je nejdelší." Nevím zatím nic o straně "b". Jak můžu vědět, že tahle je nejdelší? A v chvíli si zopakujte, že přepona je strana, která leží naproti úhlu o velikosti 90 stupňů. Toto je přepona. Potom toto na druhou plus toto na druhou se rovná 24 na druhou. Podle Pythagorovy věty "b" na druhou plus 12 na druhou se rovná 24 na druhou. Nebo můžeme odečíst 12 na druhou od obou stran rovnice. "b" na druhou se rovná 24 na druhou mínus 12 na druhou. což víme, že je 144. A proto "b" je rovno odmocnině z 24 na druhou mínus 12 na druhou. I nyní jsem v pokušení použít kalkulačku a podlehnu svému pokušení. Jdeme na to. Naposled to bylo tak bolestivé, že se stále ještě zotavuji. 24 na druhou mínus 12 na druhou je rovno 24,78. Tím se situace trochu mění. Udělám to bez... Udělám to napůl. 24 na druhou mínus 12 na druhou se rovná 432. "b" je tedy rovno druhé odmocnině z 432. A pojďme to rozložit na celočíselné dělitele. Už víme, jak vypadá výsledek, ale možná se nám podaří ho zapsat přívětivěji. Takže to je 2 krát 216. 216 je, jak si myslím... nechte mě se podívat. Myslím si, že je to druhá mocnina celého čísla. Vypočítám druhou odmocninu z 216. Ne, není druhá mocnina celého čísla. Takže máme 216 a pokračujeme. 216 je 2 krát 108. 108 je 4 krát co? 25 plus 2 - 4 krát 27, což je 9 krát 3. Takže, co zde teď máme? Máme 2 krát 2, krát 4, zde vpravo máme 16. 16 krát 9 krát 3. Je to správně? Použiju jinou kalkulačku. 16 krát 9 krát 3 se rovná 432. Čili "b" se rovná druhé odmocnině z 16 krát 9 krát 3, což je rovno druhé odmocnině z 16, z toho dostáváme 4 krát odmocnina z 9, to je 3. Krát druhá odmocnina ze 3, a to je rovno 12 krát odmocnina ze 3. Takže "b" se rovná 12 krát druhá odmocnina ze 3. Doufám, že to pro vás bylo užitečné.
video