Obvod a obsah
Přihlásit se
Obvod a obsah (22/26) · 11:05

Kružnice: Poloměr, průměr a obvod Vysvětlíme si vztah mezi průměrem, poloměrem a obvodem kruhu nebo kružnice. Také si představíme číslo pí.

Navazuje na Rovinné obrazce.
Kruh je asi nejzákladnějším útvarem našeho vesmíru, když se podíváme na oběžné dráhy planet, kola anebo věci v molekulární úrovni. Kruh se jednoduše stále a stále všude objevuje. Takže se nám určitě hodí rozumět některým jeho základním vlastnostem. Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu, stačí, abyste se podívali na Měsíc, abyste uviděli kruh, a určitě někdy nastal moment, kdy si poprvé někdo řekl: Jaké jsou vlastnosti kružnice? První věc, které si mohli všimnout, je, že v kružnici jsou vlastně všechny body stejně daleko od jednoho bodu. Všechny tyto body tady jsou stejně vzdálené od tohoto středu. První věc, na kterou se můžete zeptat, je, co je to ta stejná vzdálenost od středu? Ta přesně tady? Nazývá se poloměr. Je to vzdálenost od středu po okraj. Když je tento poloměr 3 centimetry, tak i tento poloměr bude 3 centimetry. I tento poloměr bude 3 centimetry. Nikde nebude jiný. Kružnice je podle definice množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od středu. A ta vzdálenost je právě poloměr. Druhá zajímavá věc, kterou mohli lidé chtít vědět, je, jak je kruh "tlustý"? Kde je nejširší? Anebo kdybychom ho přestřihli na nejširším místě, jaká by to byla délka? A dokonce to nemusí být jen tady. Můžeme kruh přestřihnout stejně v nejširším místě i tady. Jen ho nesmíme přestřihnout někde jako například zde, neboť to by nebylo přes nejširší místo. Je mnoho možností, jak kruh přestřihnout skrz jeho nejširší místo. Už jsme viděli poloměr a teď vidíme, že nejširší část kruhu prochází přes střed kruhu. Tudíž jsou to vlastně dva poloměry. Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr máme tady. Tuto vzdálenost nazýváme průměr kruhu. Takže toto je průměr kruhu. A má jednoduchý vztah s poloměrem. Průměr se rovná 2 krát poloměr. Další nejzajímavější věc, která vás může zajímat, je, jak je to daleko okolo celého kruhu. Kdybyste si vzali metr a odměřili byste okraj kruhu, jaká by to byla délka? Nazývá se obvod. Už víme, jaký je vztah mezi poloměrem a průměrem, ale jaký je vztah mezi obvodem a například průměrem? A jestliže se vám nelíbí průměr, vždy se dá najít vztah s poloměrem. Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry a měřili obvody a poloměry kružnic. A řekněme, že jejich metry nebyly zrovna nejpřesnější. Řekněme, že když změřili obvod, vycházel jim přibližně na 3. Potom změřili poloměr kružnice, vlastně průměr, a řekli si, že průměr je přibližně 1. Potom řekli... Napíšu si to. Zajímá nás poměr... Napíšu to jinak. Poměr obvodu kružnice ku průměru kružnice. Takže řekněme, že někdo měl takovoutu kružnice. Přesně takovou stejnou jako ta naše. Změřili obvod kružnice a řekli si, že je to přibližně 3 metry. A když změřili průměr kružnice, bylo to přibližně 1. Dobře, to je zajímavé. Možná je poměr obvodu ku průměru opravdu 3. Možná je obvod kružnice vždy přesně 3 krát tolik jako její průměr. To platilo jen pro tuto kružnici, ale pojďme říci, že to zkusili pro jinou. Trošku jinou, nakreslil jsem ji menší. Řekněme, že když změřili obvod kružnice, naměřili přibližně 6 centimetrů, nepřesně, měli nepřesné pravítko. Potom změřili průměr a vyšlo jim 2 centimetry. A zase se jim potvrdilo, že poměr obvodu ku průměru je přibližně 3. To je celkem pěkná vlastnost. Možná je poměr obvodu ku průměru ve všech kružnicích vždy stejný, v jakékoli kružnici. Ale pokračovali ve výzkumu. Našli si přesnější měřící nástroje. A když je měli, měřili ještě jednou a zjistili, že průměr je určitě 1. Řekli si, že průměr je určitě přesně 1, ale když změřili obvod, přiblížil se skoro ke 3,1. A stejně to bylo i s poměrem. Zjistili, že poměr je blíže k 3,1. Ale stále to měřili dále, lépe a lépe. A jak postupně měřili, vycházelo jim stále přesnější a přesnější číslo. Číslo 3,14159 a stále jim jen rostl počet číslic, které se nikdy neopakovaly. Bylo to zvláštní a fascinující číslo, které se potom vyskytovalo i jinde. Toto číslo je jedno z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru, protože kružnice je nejzákladnějším útvarem našeho vesmíru, a objevovalo se pro každou kružnici. Poměrem obvodu ku průměru je toto magické číslo, které lidé i pojmenovali. Pojmenovali ho pí, můžete takhle v latince anebo řeckým písmenem pí, takto. Reprezentuje to číslo, které je, hádám, nejfascinujícím číslem ve vesmíru. Nejdříve se vidíme jako poměr obvodu kružnice ku jejímu poloměru, no jak se nadále naučíte v matematice, se ještě mnohokrát ukáže. Právě takové číslo ukazuje, že je ve vesmíru nějaký pořádek. Ale jak ho můžeme použít v základní matematice? Víme, anebo vám to vlastně říkám, že poměr obvodu ku průměru... Když říkám poměr, doslova myslím, že když vydělíte obvod průměrem, dostanete číslo pí. Pi je jednoduše toto číslo. Mohl bych napsat 3,14159 a jít dále a dále, ale to by byla ztráta času a bylo by těžké s ním pracovat, proto se jednoduše píše jako řecké písmeno pí. A jak to použijeme? Můžeme obě strany rovnice vynásobit průměrem a vidíme, že obvod se rovná pí krát průměr. A když víme, že průměr je dvakrát poloměr, můžeme říci, že obvod se rovná pí krát 2 krát poloměr. Forma, v jaké to budete často vidět, je 2 pí r. Tak se pojďme podívat, jak to bude fungovat. Řekněme, že máme kružnici, a já vám řeknu, že má poloměr 3. Nejdříve to napíšu. Poloměr rovná se 3. Může to být například 3 metry, abych napsal nějaké jednotky. Jaký je obvod naší kružnice? Obvod je 2 krát pí krát poloměr. Takže to bude 2 krát pí krát poloměr, krát 3 metry, což se rovná 6 metrů krát pí nebo 6 pí metrů. A i to mohu stále násobit. Je třeba si pamatovat, že pí je jen číslo. Pí je 3,14159 a mnoho dalších cifer. A když s ním vynásobím 6, dostanu 18 celých něco něco něco. Jestli máte kalkulačku, můžete to vynásobit, ale aby to bylo jednoduché, lidé to raději nechají ve formě pí. Nevím přesně, kolik to bude, když vynásobíte 6 krát 3,14159, nevím, jestli to bude blízko 19 nebo 18, asi je to přibližně 18 celých něco něco něco. Nemám u sebe kalkulačku. Namísto takového čísla píšeme raději pouze 6 pí. Nezdá se mi, že by to bylo více než 19. Teď se zeptám na jednu věc. Co je průměr naší kružnice? No, když je poloměr 3, tak průměr bude dvakrát tolik. Takže to bude 3 krát 2 nebo 3 plus 3, tedy 6 metrů. Takže obvod je 6 pí metrů, průměr je 6 metrů a poloměr jsou 3 metry. Zkusme to teď opačně. Řekněme, že máme jinou kružnici. Takovouto kružnici. A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů. Tady je náš obvod. Takže když známe obvod, jak zjistíme průměr? Víme, že průměr krát pí, pí krát průměr, se rovná obvodu. Se rovná 10 metrů. Takže stačí podělit obě strany rovnice číslem pí. Tedy vidíme, že průměr je 10 metrů děleno pí nebo 10 děleno pí metrů. A to je také pouze číslo. Pokud máte kalkulačku, můžete vydělit 10 děleno 3,14159, Dostanete 3 celých něco něco něco metrů. Z hlavy se to nedá, ale je to jen číslo, které pro jednoduchost necháváme tak. A co je náš poloměr? Poloměr je polovina průměru. Vlastně celá tato vzdálenost je 10 děleno pí metrů. Když chceme pouze polovinu toho, je třeba to vynásobit 1/2. Máme 1/2 krát 10/pí, což je to samé jako 1/2 krát 10, Můžeme vydělit jmenovatele a čitatele dvojkou. Zůstane nám 5/pí. Takže poloměr je 5/pí. Nic extra speciálního. Je jen třeba si uvědomit, že pí je pouze číslo. Je to jen 3,14159 s hromadou desetinných míst. Existují tisíce knih o čísle pí. Dobře, možná trochu přeháním, ale knih by se ale dalo psát mnoho. Je to jen číslo. A pokud ho chcete psát způsobem, na který jste zvyklí, vždy se to dá vynásobit. Většina lidí ale upřednostňuje psát výsledky se symbolem pí. Tady to už asi necháme takhle. V následujícím videu budeme počítat plochu kruhu.
video