Rovinné obrazce
Rovinné obrazce (4/9) · 4:28

Důkaz: Součet úhlů v trojúhelníku Se znalostmi o souhlasných, vrcholových a doplňkových úhlech zjistíme, jaký je součet vnitřních úhlů v trojúhelníku.

Navazuje na Úhly.
Nakreslil jsem zde obecný trojúhelník. A označil velikosti jeho vnitřních úhlů. Velikost tohoto úhlu je 'x', tohoto je 'y' a tohoto je 'z'. A chci dokázat, že součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku, tedy že 'x' plus 'y' plus 'z', se rovná 180 stupňů. A udělám to tak, že využiju znalostí rovnoběžek, příček rovnoběžek, a souhlasných úhlů. A to tak, že prodloužím každou stranu trojúhelníku, které teď tvoří úsečky, ale prodloužím je do přímek. Tedy tato strana dole pokud ji budu prodlužovat do nekonečna, dostanu tuto oranžovou přímku. A teď chci sestrojit další přímku, která bude rovnoběžná s oranžovou přímkou a bude procházet tímto vrcholem trojúhelníku. To mohu udělat vždy. Mohu začít z tohoto bodu a jít ve stejném směru jako tato přímka, a nikdy ji neprotnu. K této přímce se ani nepřibližím, ani se nevzdálím. Takže tuto přímku nikdy neprotnu. Tyto dvě přímky jsou tedy rovnoběžné. Tato je rovnoběžná s touto. Nyní se přesunu k dalším dvěma stranám původního trojúhelníku a prodloužím je v přímky. Takže prodloužím tuto stranu do přímky. Udělám to, jak nejlépe umím. A prodloužím toto do přímky. Teď vidíte, že to je určitě příčka těchto dvou rovnoběžek. Nyní, když zde máme příčku dvou rovnoběžek, stejně tak tu musíme mít nějaké souhlasné úhly. A vidíme, že byl tento úhel vytvořen příčkou, která protla spodní oranžovou přímku. Takže, jaký je jeho souhlasný úhel za předpokladu, že příčka protla tuto modrou přímku? Jaký je úhel v pravém horním rohu průsečíku? Úhel v pravém horním rohu průsečíku musí být také 'x'. Další věc, které si jistě povšimnete, je ta, že tu je další, vrcholový úhel k 'x', tedy další úhel, který musí mít stejnou velikost. Na protější straně průsečíku leží tento úhel. Tyto dva úhly jsou vrcholové. Tedy, pokud má tento úhel velikost 'x', pak i tento úhel musí mít velikost 'x'. Provedeme teď to samé s poslední stranou trojúhelníku, kterou jsme ještě neprotáhli do přímky. Takže to uděláme. Čili, pokud vezmeme tuto stranu... ...a protáhneme ji.... ...stane se z ní přímka. Takže se stane příčkou dvou rovnoběžek. Stejně jako ta fialová přímka. A teď se podívejte na úhel 'y'. Ten úhel je vytvořen průsečíkem příčky se spodní rovnoběžkou. Takže, jaký úhel je s ním souhlasný? Inu, je to tento na levé straně průsečíku. Je souhlasný k tomuto úhlu - k tomu, který je tvořen průsečíkem zelené příčky s modrou rovnoběžkou. Takže, který úhel je k němu vrcholový? Inu, tento úhel. Takže tento úhel bude mít také velikost 'y'. Takže jsme konečně na stopě našeho důkazu. Protože uvidíme, že velikost... máme tyto úhly. Tento má velikost 'x'. Tento má velikost 'z'. Jsou to přilehlé úhly. Pokud vezmeme dvě polopřímky z tohoto úhlu a pokud se zamyslíme nad tímto úhlem, jaká je velikost tohoto širokého úhlu? Inu, bude to 'x' plus 'z'. A tyto úhly jsou výplňkové k tomuto úhlu o velikosti 'y'. Takže, toto 'x'... tedy, velikost tohoto úhlu, což je 'x' plus 'z', plus velikost tohoto fialového úhlu, což je 'y', musí být 180 stupňů, protože jsou tyto dva úhly výplňkové. Tedy 'x'... velikost úhlu, 'x' plus 'z', plus velikost fialového úhlu, který je výplňkový k tomu velkému úhlu, musí být 180 stupňů... Protože jsou výplňkové. Takže to jen uspočádáme, aby to bylo v abecedním pořádku. Ale i tak jsme dokončili náš důkaz. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku, 'x' plus 'z' plus 'y'. A můžeme to taky zapsat jako 'x' plus 'y' plus 'z', aby to bylo podle abecedy a dráždilo by nás to. Můžeme to přepsat na 'x' plus 'y' plus 'z' je rovno 180 stupňům. A máme hotovo.
video