Objem a povrch
Objem a povrch (11/12) · 5:44

Objem kužele Odvodíme si vzorec pro objem kužele ze vzorce pro objem válce.

Navazuje na Obvod a obsah.
Pojďme si zapřemýšlet, jak by se asi tak mohl spočítat objem kuželu. Je snad zřejmé, že jeho podstavu tvoří kruh. Tedy aspoň teoreticky, nákres se promítá zkresleně. Nicméně podstavou kužele je prostě kruh. A spojíme ho s vrcholem někde mimo něj. Kužel tedy vypadá nějak takto. Může být takto špičkou nahoru, nebo ho můžete klidně otočit. Otočený vypadá spíš jako kornout na zmrzlinu. Nebo jako speciální sklenička vody. K výpočtu objemu zcela jistě budeme potřebovat nějaký údaj charakterizující podstavu, a jelikož je kruhová, tak tím údajem bude její poloměr. Ten potřebujeme nutně vědět. Poloměr se samozřejmě nachází na obou nákresech. V druhém kuželu je nahoře. Bez tohoto poloměru se prostě neobejdeme. Další věcí, která je pro výpočet objemu kužele nezbytná, je jeho výška. Pojďme tuto výšku nazvat 'h', jako height. Poznámka překladu: V češtině tuto výšku označujeme 'v' jako výška. Vzoreček pro objem kužele je velmi zajímavý. Je totiž velmi podobný objemu válce. Což je svým způsobem zvláštní. Člověk by si řekl, že vzorečky pro výpočty budou opravdu hrozné. Ve skutečnosti to ale tak zamotané není. Je potřeba vypočítat plochu podstavy, ta se bude počítat jako obsah kruhu, tedy pí krát poloměr na druhou. To je potřeba vynásobit výškou kužele. A kdyby jste počítali objem podle tohoto vzorce, dostali byste vlastně objem válce, což by vypadalo nějak takto. Středem horní podstavy tohoto válce by byl vrchol našeho kužele. Je tedy jasné, že tímto vzorcem se správného objemu nedobereme. Chceme ale vypočítat objem kužele, což je jedna třetina z toho. A to je přesně proč tvrdím, že to je velmi přehledné, protože třetina objemu válce na obrázku je objem našeho kužele. Pořadí písmen ve vzorečku není samozřejmě důležité, vzoreček si můžete napsat v takovém pořadí, jaké vám bude vyhovovat. Já si výpočet objemu kuželu pamatuji díky tomuto odvození, které je snadné si představit. Je to opravdu velice lehké, vezmete si objem celého válce, tzn. vynásobíte obsah kruhové podstavy s výškou a potom si jenom uvědomíte, že kužel je 1/3 celého válce. Teď si pojďme udělat jednoduchý výpočet, abychom si ověřili, že nám ten vzoreček dává opravdu smysl. Řekněme, že toto je nějaká bizarní kuželovitá sklenička. Dejme tomu, že se do této skleničky dá nalít 131 cm krychlových vody. Známe také výšku oné sklenky, kterou jsme si označili 'h'. Druhý potřebný údaj je výška této sklenky ve tvaru kužele, která je 5 cm. Chceme zjistit, kolik tak přibližně bude poloměr podstavy. Zaokrouhleno na jedno desetinné místo. Tady jde jen o to úspěšně aplikovat vzorec. Objem, který je 131 cm krychlových, se bude rovnat 1/3 krát pí krát výška, což je 5 cm krát poloměr podstavy na druhou. Vydělíme 1/3 pro zbavení se zlomku. Dostaneme, že poloměr na druhou se rovná 131 cm krychlových.... když to vynásobíme, trojka přejde do čitatele u tohoto členu. Dělení 1/3 je v tomto případě stejné jako násobení 3, potom samozřejmě do jmenovatele dostaneme pí. Do jmenovatele půjde také 5 cm. Teď se koukneme na tento výraz a zjistíme, že se nám jednotky pokrátí a zbude cm na druhou. Abychom získali 'r', musíme obě strany rovnice odmocnit, zbavíme se tak členu na druhou. 'r' se tedy bude rovnat odmocnině z 3 krát 131 lomeno (pí krát 5). To byla tato část. Co jednotky? Uvědomme si, že když odmocníme cm čtvereční dostaneme cm, což nás určitě potěšilo, protože přesně to jsme chtěli. Teď vytáhneme kalkulačku. Snad nám to hodí nějaký hezký výsledek. Zapněme, odmocnina z 393 děleno 5 krát pí se rovná... 5 a kousek. Takže poloměr podstavy tohoto kužele je přibližně 5 centimetrů. Tedy alespoň v tomto příkladě.
video