Objem a povrch
Přihlásit se
Objem a povrch (1/12) · 7:51

Jak měříme objem Něco málo o jednotkových délkách, jednotkových čtvercích a jednotkových krychlích.

Navazuje na Obvod a obsah.
Lidé si vždy uvědomovali, že některé věci jsou delší než jiné věci. Například, tato úsečka vypadá delší než tato úsečka. Ale udělat jen takové srovnání nám nestačí. Chcete to umět změřit. Chcete dokázat vyčíslit, o kolik je delší než ta první. A jak to uděláme? Zadefinujeme jednotkovou délku. Takže pokud řekneme, že toto je naše jednotková délka, řekněme, že toto je jedna jednotka, pak můžeme říct, kolik takových délek tvoří každou z těchto úseček. Tedy první úsečka vypadá, že... uděláme jednu jednotku a ještě jednu, takže toto je dlouhé dvě jednotky. Zatímco tato třetí vypadá jako.... Podívejme se, to je 1, 2, 3 jednotky. Takže to jsou 3 jednotky. A zde říkám pouze jednotky. Někdy uděláme úmluvu a zadefinujeme centimetr, kde jednotka bude vypadat asi takto. A bude vypadat různě v závislosti na vaší obrazovce. Nebo můžeme mít jeden palec, který vypadá asi takto. Nebo můžeme mít stopu, která by se už nevešla na obrazovku, podle toho jak velký jsem nakreslil jeden palec. Existují tedy různé jednotky, které můžeme použít k měření. Ale teď přemýšlejme o dalších rozměrech. Toto je doslova jednorozměrný případ. To je 1D. Proč je to jeden rozměr? No, protože můžeme měřit pouze délku. Přejděme teď k případu 2D. Pojďme teď k dvěma rozměrům, kde mohou mít objekty délku a šířku, nebo šířku a výšku. Představme si dva obrazce, které vypadají asi takto. Řekněme, že toto je jeden z nich. Toto je jeden z nich. A všiměte si, že má šířku a má výšku. Nebo se na to můžete dívat jako na šířku a délku, záleží, jak se na to chcete dívat. Řekněme, že toto je jeden obrazec. A toto je druhý. Toto je druhý obrazec. Zkusím je nakreslit nějak obstojně. Teď, ještě jednou, teď máme dva rozměry. Chceme určit, kolik dvou rozměrného prostoru zabírá tento útvar. Nebo jakou plochu obrazce zabírají? A znovu, mohli bychom udělat jen srovnání. Teď, když se na to podíváte jako na koberce nebo obdélníky, druhý obdélník zabírá na obrazovce víc místa než první, ale chci to dokázat změřit. Takže jak to změříme? A znovu, zadefinujeme jednotku čtvereční. Kromě jednotkové délky máme teď dva rozměry. Musíme zadefinovat jednotkový čtverec. Takže můžeme vyrobit jednotkový čtverec. Jednotkový čtverec zadefinujeme jako čtverec, jehož šířka a délka odpovídají jednotkové délce. Tedy jeho šířka je jedna jednotka a výška je jedna jednotka. A nazýváme to 1 čtvereční jednotka. Často říkáme, že je to 1 jednotka a dvojku napíšeme sem, doslova to znamená 1 jednotka čtvereční. A místo zápisu jednotky, bychom mohli napsat centimetr. Byl by to 1 centimetr čtvereční. Ale teď to můžeme použít k změření těchto ploch. A jak jsme právě určili, kolik jednotkových délek se vejde na tyto úsečky, stejně můžeme říct, kolik jednotkových čtverců se vejde sem. Tady, vezmeme jeden jednotkový čtverec a říct, OK, zaplní to tolik místa. A potřebujeme víc, abychom to překryli. Ještě sem přidáme další jednotkový čtverec. Další jednotkový čtverec dáme sem. A tady dáme další. Překryjí to přesně 4 jednotkové čtverce. Mohli bychom tedy říct, že obsah plochy má hodnoto 4 jednotkové čtverce nebo 4 jednotky čtvereční. Co třeba tento? Tady bych mohl naskládat 1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... a 9. Sem se vejde 9 jednotek, 9 jednotek čtverečních. Pokračujme dál. Žijeme v trojrozměrném světě. Proč se tedy omezovat pouze na jednu nebo dvě? Přesuňme se tedy k 3D. Opět, pokud lidé řeknou 3D, mluví o 3 rozměrech. Mluví o různých směrech, ve kterých měříme objekty. Zde je pouze délka. Tady máme délku a šířku nebo šířku a výšku. A tady, zde bude šířka, výška a hloubka. Tedy ještě jednou, pokud máte nějaký objekt, a teď máme tři rozměry, jako ve světě, ve kterém žijeme, a vypadá asi takto, a pak máme další objekt, který vypadá takto, vypadá to, že druhý objekt zaujímá více místa, více fyzického prostoru než první objekt. Vypadá to, že má větší objem. Ale jak to vlastně změříme? A pamatujme, objem je jen to, kolik prostoru něco zaujímá ve třech směrech. Obsah je to, kolik místa něco zaujívá ve dvou rozměrech. Délka je, kolik místa něco zaujímá v jednom rozměru. Ale když uvažujeme o prostoru, normálně uvažujeme o třech rozměrech. Kolik místa byste zabrali ve světě, ve kterém žijeme? Takže jako předtím, zadefinujeme si, kromě jednotkové délky, nebo jednotkového obsahu, zadefinujeme si jednotkový objem nebo jednotkovou krychli. Tak to udělejme. Nadefinujeme jednotkovou krychli. Mějme krychli, jejíž délka, šířka a výška mají stejnou hodnotu. Pokusím se o co nejlepší krychli. A všechny budou jedna jednotka. Bude jednu jednotku vysoká, jednu jednotku hluboká a jednu jednotku široká. A abychom změřili objem, budeme se ptát, kolik takových jednotkových krychlí se vejde do těchto různých útvarů? Tak, tento objekt... nemůžete je vlastně všechny vidět. Mohu to v podstatě rozdělit... uvidíme, jak se mi to povede... abychom je mohli všechny spočítat. Je trochu těžší všechny vidět, protože některé kostky jsou vzadu. Ale když o tom budete uvažovat jako o dvou vrstvách, jedna vrstva bude vypadat takto. Jedna vrstva bude vypadat takto. Představte si dvě takové věci naskládané na sebe. Budou to tedy 1... 2... 3... 4 krychle. A tohle má dvě takové vrstvy naskládané na sebe. Takže tady je 8 jednotkových krychlí. Máte tedy objem 8 jednotkových krychlí. A co tady? Pokud se je tam pokusíme naskládat... uvidíme, jak se to povede... Bude to vypadat nějak takto. A evidentně, to je jen hrubý náčrt. A pokud se to pokusíme rozložit, budeme mít na sobě naskládané 3 části, z nichž každá bude vypadat takto. Můj nejlepší pokus o náčrtek. Tři části, které budou vypadat asi tak, jak se pokouším nakreslit. Bude to vypadat takto. Takže pokud vezmete tři takové a poskládáte je na sebe, dostanete toto. A v každé z nich je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 krychlí. 9 krát 3, budete mít 27 jednotek krychlových. Doufejme, že nám to pomůže přemýšlet o tom, jak měříme objekty, obzvlášť, jak měříme objekty v různých dimezích, ve třech dimenzích tomu říkáme objem.
video