Objem a povrch
Přihlásit se
Objem a povrch (2/12) · 7:22

Výpočet objemu jako součin plochy a výšky Spočítáme objem složitějších těles.

Navazuje na Obvod a obsah.
Mám tady toto těleso. Můžeme ho nazvat kolmý hranol. A chci změřit jeho objem. A definuji svoji jednotkovou krychli o rozměrech 1 centimetr krát 1 centimetr krát 1 centimetr. Má délku 1 centimetr, šířku 1 centimetr a délku 1 centimetr. A nazveme to... odpovídá to 1 centimetru krychlovému. Budu tedy měřit objem v centimetrech krychlových. Už jsme viděli, že si můžeme říct, kolik takových centimetrů krychlových se vejde do tohoto tělesa, aniž by jakkoliv přečnívaly? Pokud máme tohle v rukou, můžeme jít dokola a zkusit to spočítat, ale tady je to složité, protože některé krychličky nevidíme za těmi, které jsou vidět. Použiju tedy jinou taktiku. Nejprve se zamysleme, co můžeme vypozorovat. Vidíme, že toto, pokud budeme měřit jiné rozměry, jeho šířka, je široká 2 jednotky délky. Tedy je to 2 centimetry široké. Jsou to 4 naše délkové jednotky... definujeme naši délkovou jednotku jako 1 centimetr... je to vysoké naše 4 délkové jednotky. Tedy tento rozměr je 4 centimetry. A hluboké 3 naše délkové jednotky. Tedy tento rozměr je 3 centimetry. Chci zjistit, jestli bychom mohli využít tato čísla, abychom zjistili, kolik centimetrů krychlových se vejde do tohoto tělesa. První způsob, kterým se budu zabývat, je, že se podívám na řezy. Vezmu tento řez našeho původního tělesa. A zamysleme se, jak využít tato čísla, abychom zjistili, kolik jednotkových krychlí bylo v tomto řezu. Je to 2 centimetry široké a 4 centimetry vysoké. A můžete říct, hele Sale, mohu spočítat jen tohle. A dostanu 8 čtverců. Ale co kdyby jich bylo hodně? Bylo by to o moc těžší. Ale můžete si uvědomit, že bych mohl jen vynásobit šířku krát výšku, což by mi dalo obsah této plochy. A je to jen 1 hluboké, takže mi to rovnou dá počet kostek. Tak to udělejme a najděme obsah. Bude to 2 centimetry krát 4 centimetry. Což nám dá obsah tohoto. A když budeme chtít zjistit počet kostek, to bude zároveň odpovídat počtu kostek. Máme tedy plochu 8 centimetrů čtverečních, a počet kostek je 8. A pokud bychom chtěli počet kostek celého tělesa, musíme to jen vynásobit počtem řezů. Vidíme, že potřebujeme jeden, dva, tři řezy. Je to hluboké 3 centimetry. Budeme tedy násobit třemi. Vezmeme obsah jedné plochy. Právě jsme spočítali obsah této plochy. A potom ji vynásobíme hloubkou, což nám v podstatě dá počet kostek, protože obsah této plochy je počet kostek v řezu, který je hluboký jednu kostku. A pak budeme muset udělat 3 takové řezy. Toto je první řez. Budeme muset udělat další řez a další řez, a další řez, abychom dostali původní těleso. Takže 2 centimetry krát 4 centimetry krát 3 centimetry nám dá hledaný objem. Uvidíme, jestli to funguje. 2 krát 4 je 8, krát 3 je 24. Udělám to růžovou barvou. 24 centimetrů na třetí nebo také centrimetrů krychlových. To je jeden způsob jak změřit objem. Tady máme mnoho ploch. Zvolil jsem si tuhle plochu, ale mohl jsem vybrat jinou. Mohl jsem si vybrat tuto plochu a udělat stejnou věc. Vybereme tuto plochu a uděláme to stejné. Tato plocha je 3 centimetry krát 4 centimetry. Udělám to modrou barvou. Změna barvy je vždycky složitá. Její obsah bude 12 centimetrů čtverečních. To je obsah plochy. A 12 je také počet kostek které máme v tomto řezu. Takže kolik takových řezů potřebujeme abychom sestrojili původní těleso? No, je to 2 centimetry hluboké, toto je pouze 1 centimetr, takže potřebujeme dva řezy, abychom sestrojili původní těleso. Takže můžeme v podstatě najít obsah první plochy což je 3 krát 4, a pak to vynásobíme šířkou, krát počet řezů, které potřebujeme, takže krát 2. A znovu, to bude 3 krát 4 to je 12, krát 2 je 24. Poprvé jsem nezapsal počet. Ale dá nám to počet, kolik centimetrů krychlových máme, kolik jednotkových kostek tam zapadne. Takže znovu, tohle je 24 centimetrů krychlových. A představte si, že můžeme udělat to stejné ne s touto plochou ale s vrchní plochou. Vrchní plocha je 3 centimetry hluboká. A 2 centimetry široká. Takže vidíme její obsah, její obsah bude 3 centimetry krát 2 centimetry. Tedy obsah je... udělám to stejnou barvou.. 3 centimetry krát 2 centimetry, což je 6 centimetrů čtverečních. A to vám zároveň říká, že bude 6 kostek v tomto řezu, který je hluboký jednu kostku. A kolik takových řezů budeme potřebovat? No, celé těleso je vysoké 4 centimetry, a toto je jen 1 centimetr, takže budete potřebovat 4 řezy. To je 2, 3... udělám to jak nejlíp to jde... a 4. Potřebujete tedy 4. K určení celého objemu budete muset toto vynásobit krát 4 centimetry. Ještě jednou, 3 krát 2 je 6 centimetrů čtverečních krát 4 centimetry je 24 centimetrů krychlových. Nezáleží na pořadí, ve kterém to násobíte. Můžete se na to podívat a vzít plochu jedné strany potom to vynásobit hloubkou. Nebo můžete vzít obsah plochy jiné strany a vynásobit to vyškou nebo šířkou nebo hloubkou. A to jsou všechny možnosti. Ale co to především dokazuje, je, že nezáleží na pořadí v jakém násobíme tyto tři rozměry. Můžete nejdříve vynásobit 2 krát 4 a pak násobit 3. Nebo můžete vynásobit nejdříve 3 krát 4 a pak násobit 2. A nebo můžete nejdříve vynásobit 2 krát 3 a potom násobit 4. Když násobíte, nezáleží na pořadí, v jakém to děláte. Takže pokud máte kolmý hranol a znáte jeho tři rozměry, víte, že je 2 centimetry široký, 3 centimetry hluboký a 4 centimetry vysoký, můžete říci, že objem totoho tělesa je počet jednotkových kostek počet centimetrů krychlových, bude 2 centimetry krát 4 centimetry krát 3 centimetry, což jak už jsme třikrát viděli, je 24 centimetrů.
video