Objem a povrch
Objem a povrch (10/12) · 8:07

Objem a povrch válce Výpočet objemu a povrchu válce

Navazuje na Obvod a obsah.
Podívejme se na objem několika dalších těles, a pokud bude čas, i na výpočet jejich povrchu. Zde nakreslím válec. Toto je vršek válce a toto je výška mého válce. Toto zde je jeho dno. Pokud by byl průhledný, možná byste viděli jeho zadní stěnu. Můžete si to představit jako takovou plechovku od limonády. Řekněme, že výška válce je 'h' se rovná 8. I s nějakými jednotkami, 8 cm. To je výška. A dále řekněme, že poloměr těchto stěn, vršku válce nebo plechovky, řekněme, že tento poloměr se rovná 4 cm. Takže jaký je objem? Kolik bude objem? A princip je v podstatě úplně stejný jako u předchozích případů. Určíte obsah stěny na jedné straně a pak zjistíte, jak hluboko jde, budete schopni určit objem. Takže nejprve určíme obsah plochy na vrchu válce, vršek této plechovky od limonády. A pak to vynásobíme výškou, a tak získáme objem. V podstatě nám to říká, kolik centimetrů čtverečních se vejde do vrchní části. A až to budeme vědět, vynásobíme to počtem centimetrů směrem dolů, a to nám dá počet krychlových centimetrů v tomto válci nebo plechovce. Takže jak určíme obsah této plochy? No jde jen o nalezení obsahu kruhu, můžete si to namalovat takto. Kdybychom se dívali přímo zeshora, uvidíme kruh o poloměru 4 cm. Obsah kruhu o poloměru 4 cm se rovná pí krát r na druhou, takže pí krát poloměr na druhou, krát 4 cm na druhou, to se rovná 4 na druhou je 16 krát pí. A jednotky budou cm na druhou nebo take centimetry čtvereční. Takže to je obsah a objem bude obsah základny krát výška. Takže objem se bude rovnat 16 pí cm na druhou krát výška, krát 8 cm. Takže když násobíte, můžete využít toho, že násobení je asociativní a můžete změnit pořadí činitelů. Nezáleží na tom, jak jdou po sobě. Všechno je násobení, takže tohle je totéž jako 16 krát 8, takže 8 krát 8 je 64, 16 krát 8 je 2krát tolik, takže to bude 128 pí, a k tomu cm na druhou krát cm, to nám dá cm na třetí, nebo 128 pí cm krychlových. Víme, že pí je jenom číslo. Píšeme pí, protože jde o šílené iracionální číslo, takže ho nemůžete nikdy napsat úplně celé, 3,14159, jde do nekonečna, nikdy se neopakuje, takže zůstaneme u pí. Ale kdybyste to chtěli nějak vyčíslit, můžete vzít kalkulačku. Je to zhruba 3.14 krát 128, takže to bude skoro 400 centimetrů krychlových. A nyní, jak spočítáme povrch tohoto tělesa? Dvě plochy nahoře a vespod jsou součástí povrchu, takže toto bude součástí povrchu a pak toto vespod také bude součástí povrchu. Takže když chci spočítat povrch, určit povrch našeho válce, určitě bude obsahovat tyto dvě plochy. Takže bude mít 2krát 16 pí cm na druhou. Toto je 16 pí, toto je 16 pí čtverečních centimetrů. Takže to bude 2 krát 16 pí cm na druhou. Zatím ponechám jednotky. To pokrývá vršek a spodek naší plechovky. A nyní mysíme určit povrch této oblasti, která jde okolo. Já si to představuji, jako bych tuhle věc obalil papírem. Nakreslím zde tečkovanou čáru. Představte si, že byste to takhle rozřízli, rozřízli tu stranu a pak ji rozvinuli, tady to, co jde dokola. Co dostanete? No, dostali byste něco, co by vypadalo jako list papíru. Tato délka je to samé jako tato délka. A když bude to bude úplně rozvinuté, tak tyto dva konce... Nakreslím to fialově. ...tyto dva konce se původně dotýkaly. Použiji novou barvu, udělám to růžovou. Tyto dva konce se původně dotýkaly, když to vše bylo zabaleno dohromady. A původně se dotýkaly právě zde. Takže délka této strany a této strany jsou stejné jako výška mého válce. To tedy bude 8 centimetrů. A pak zde to bude také 8 centimetrů. A měli bychom se tedy zeptat, kolik bude tento rozměr zde. A nezapomeňte, že tento rozměr je v podstatě vzdálenost, kterou bychom šli kolem válce. Takže, když se nad tím zamyslíte, bude to přesně totéž jako obvod kruhu buď nahoře nebo vespodu válce. Takže kolik je obvod kruhu? Obvod tohoto kruhu zde se rovná obvodu tohoto kruhu. A je 2 krát poloměr krát pí. Nebo 2 pí krát poloměr. 2 pí krát 4 cm je 8 pí cm. Takže tato vzdálenost je obvod spodku nebo vršku válce. Bude to 8 pí cm. Takže potřebujeme určit obsah obalu. Jen té části, co jde okolo válce, ne spodní nebo vrchní části. V rozvinutém stavu vypadá jako obdélník. Takže obsah této části se rovná 8 cm krát 8 pí cm. Napíši to takto, bude to 8 cm krát 8 pí cm. To se rovná 64 pí. 8 krát 8 je 64. Takže pí cm na druhou. Když chcete povrch celého válce, máte vršek, spodek. A potřebujete určit obsah obalu. Právě jsme spočítali, že to je 64 pí cm na druhou a nyní to musíme spočítat. To je 2 krát 16 pí, to se rovná 32 pí cm na druhou. Plus 64 pí, kousek to posunu. Plus 64 pí cm na druhou. 32 plus 64 je 96 pí cm na druhou. Takže se to rovná 96 pí čtverečních cm, to je něco přes 300 čtverečních cm. A všimněte si, že jsme počítali povrch, výsledek je tedy ve čtverečních centimetrech. To dává smysl, protože povrch je 2-rozměrný. Počítáme, kolik čtverečních cm se vejde na povrch válce. Když jsme dělali objem, dostali jsme krychlové centimetry. A to protože jsme počítali, kolik krychlí 1 krát 1 krát 1 cm se vejde dovnitř tohoto tělesa, proto krychlové centimetry. Doufám, že toto video to trochu vysvětlilo.
video