Přímky
Přihlásit se
Přímky (2/5) · 12:58

Jazyk a značení základní geometrie Porozumění základním myšlenkám v geometrii a jak je znázorňujeme symboly.

Cílem tohoto videa je představit jazyk a některé znaky, které používáme, když mluvíme o geometrii. Nejlepší bude se nejdřív zamyslet, co vlastně geometrie znamená. Možná jste poznali první část slova geometrie. Má kořen slova „geo“. Stejný najdete ve slovech jako geografie a geologie. Tenhle kořen se vztahuje k zemi. A tenhle kořen slova se týká „země“. A pak tu vidíme část „metrie“. „Metrie“ je součástí třeba trigonometrie nebo metrického systému a pochází ze slova měření. Je to odvozeno ze slova měření nebo měřit. Tudíž když se řekne geometrie, samotný výraz znamená „měření země“. To není úplně nejhorší pojmenování, protože je to velmi obecný předmět. Geometrie je věda, která se snaží pochopit, jak spolu souvisí tvary, prostor a věci kolem nás. Když se začínáte učit geometrii, učíte se o přímkách, trojúhelnících, kruzích a úhlech. Všechny tyhle věci si definujeme přesněji a přesněji, až se budeme dostávat dál a dál. Ale jsou to i věci jako vzorce a trojrozměrná tělesa. Je to zkrátka skoro všechno, co vidíme. Všechny vizuální matematické záležitosti, které známe, mohou být nějakým způsobem zařazeny do geometrie. Tohle pomineme a začneme od základů. Začátečním bodem v geometrii, a odsud můžeme jít dál. Začneme tečkou. Touhle tečkou. Je to jen bod, jen malý bod tady na obrazovce. Doslova se nazývá bodem, tomu říkám definice. Legrační věc na matematice je, že můžete vytvářet definice. Mohli bychom tomuhle říkat třeba pásovec, ale rozhodli jsme se tomu říkat bod, což si myslím dává smysl, protože tak bychom tomu říkali v každodenním jazyce. Je to bod. Na bodu je zajímavé, že je jen jedno místo. Nemůžete se z bodu hnout. Kdybyste byli v tomto bodě a pohnuli se do jakéhokoli směru, už byste nebyli v tom bodě. V bodu se nemůžete pohybovat. Mezi body jsou rozdíly. Například tady máme jeden bod, tady budeme mít další. Tady taky a potom tady. Chceme být schopní o těchto bodech mluvit, ne každý si může dovolit luxus barevného pera jako já. Jinak bychom jim mohli říkat zelený, modrý nebo růžový bod. V geometrii body pojmenováváme, abychom o nich mohli mluvit. Tyto značky jsou obvykle písmena. Například tohle může být bod A, tenhle B, tenhle bod C a tady je bod D. Když teď někdo řekne, abyste zakroužkovali bod C, už víte, jaký zakroužkovat. Víte, že byste zakroužkovali tenhle bod. Zatím je to celkem zajímavé. Máme věci, kterým se říká body. V bodu se nemůžete pohybovat. Body vlastně jen určují místo. Co kdybychom se chtěli trochu posunout? Co když se chceme se dostat z jednoho bodu do druhého? Začneme v bodě A a chceme všechny body (včetně A), které spojují ten bod s jiným bodem. Všechny tyhle body... Jak bychom tomu říkali? Všechny body, které přímo spojují A a B (použiji tady běžnou mluvu), které je spojují takovouhle přímou čarou. Říkáme tomu úsečka. Normálně byste řekli třeba čára nebo přímka, ale říkáme tomu úsečka. Uvidíme, že v matematických výrazech přímka znamená něco trochu jiného. Tohle je úsečka. Kdybychom měli spojit D a C, to by byla další úsečka. A opět, vždycky nemáme luxus barev. Tahle by byla oranžová úsečka, tohle by byla žlutá úsečka. Chceme mít pro úsečky nějaké označení a nejlepší způsob je označit je pomocí krajních bodů. To je další pojem. Bod je jen A nebo B, ale A a B jsou také krajní body úsečky, protože ta začíná a končí v bodech A a B. Takže si to napíšeme, A a B jsou krajní body úsečky. A máme další definici. Mohli jsme jim říkat mravenečníci nebo krajní pásovci, ale jako matematici jsme se jim rozhodli říkat krajní body, protože se to zdá jako dobré jméno. A opět potřebujeme tyto úsečky s krajními body nějak označit. A jak lépe pojmenovat úsečku než jejími krajními body? Takže pojmenujeme tuhle úsečku. Napíšeme její krajní body, a abychom naznačili, že je to úsečka, nakreslíme nad nimi čáru. Tuhle dolní úsečku označíme takto. Klidně jsme mohli napsat tohle: CD s čárou nahoře se vztahuje k té samé úsečce. Stejně tak BA s čárou nahoře se vztahovuje k téhle úsečce. A teď si můžete říct, že vám nestačí jen cestovat mezi A a B. To je další zajímavá myšlenka. Když jste byli na bodu A a nemohli jste se z bodu pohybovat vůbec, nemohli jste cestovat v žádném směru, měli jste nula možností pohybu. Nemůžete jít nahoru, dolů, doleva, doprava nebo ven ze stránky a být stále na tom bodě. Proto říkáme, že bod má nula rozměrů. Nula rozměrů. Najednou tu máme úsečku. A zde můžeme jít alespoň doleva a doprava, podél této úsečky. Můžeme jít směrem k A či B. Můžeme se hýbat dozadu či dopředu v jednom rozměru. Úsečka má jeden rozměr. Je to jednorozměrný předmět. Ale jsou to spíše abstraktní představy, neexistuje nic jako dokonalá úsečka. Na úsečce se nemůžete pohnout nahoru ani dolů, zatímco ve skutečnosti, všechno, čemu říkáme úsečka, však víte, nějaká tyčka nebo rovná šňůrka, bude mít stále nějakou šířku. Ale úsečka z geometrického hlediska nemá žádnou šířku. Má pouze délku, takže se můžete pohybovat jen podél ní, a proto říkáme, že má jen jeden rozměr. Na bodu se nemůžete hnout vůbec, na úsečce se můžete pohybovat dozadu a dopředu ve dvou směrech. Právě jsem řekl, že úsečka má délku. Jak ji značíme? Značíme ji tak, že nad ní nepíšeme čáru. Když napíšu AB s čárou nad písmeny, znamená to, že mluvím o vlastní úsečce Když řeknu, že... Vezmu si na to novou barvu. Když řeknu, že AB se rovná 5 jednotek, mohou to být centimetry, metry... Abstraktní jednotka je 5. Znamená to, že vzdálenost mezi A a B je 5, že délka úsečky AB je 5. Pojďme na tomto stavět. Řekněme, že chceme jít dál v jednom směru. Začneme v A. Udělám to novou barvou. Začínám v A a chci jít do D, ale chci mít možnost pokračovat dál. Nemůžu jít dál ve směru A než právě do A, ale můžu jít dál ve směru k D. Byla to úsečka, ale můžu jít dál za ten krajní bod, a tomu říkáme polopřímka. Výchozí bod polopřímky se jmenuje počáteční bod. Není to termín, který uslyšíte každý den. Je dobré to vědět, tohle je počáteční bod polopřímky. Není to počáteční bod téhle úsečky, takže bych ho asi neměl značit takhle. Polopřímka má opět jen jeden rozměr. Můžete ale pokračovat v jednom směru, směrem za jeden z krajních bodů, Polopřímku vyznačíme tak, že ji nazveme AD a nakreslíme nad ni malou šipku. Znak polopřímky. V tomto případě záleží na pořadí písmen. Když napíšu DA jako polopřímku, bude to jiná polopřímka. Znamenalo by to, že začínám v D a jdu směrem za A. Tohle tedy není polopřímka DA, je to polopřímka AD. Asi vás nakonec napadne, co kdybych mohl jít stále dál v obou směrech? Řekněme, že můžu pokračovat dál v obou směrech. Nakreslím nové body. Máme tady bod E a bod F. Řekněme, že mám čáru, která jde skrz body E a F, ale jde stále dál v obou směrech. V geometrických výrazech je to přímka. Přímka nikde nekončí, můžete jít dál v obou směrech. Úsečka končí. Má krajní body, přímka ne. Úsečka je tedy úsek, část přímky. Přímku EF můžeme označit takovýmito šipkami nad písmeny. Při studiu geometrie uvidíte nejčastěji tahle označení, protože nás budou zajímat strany útvarů, vzdálenosti mezi body. Všechny tyhle věci mají jedno společné, mají určenou délku. Nejdou do nekonečna v jednom či dvou směrech. Mluvíme o úsečkách. Ještě se vrátíme k úsečkám, abychom se naučili nová slova, na která můžete narazit v geometrii. Vrátíme se k úsečce. Máme bod X a Y a tohle je úsečka XY. Můžu jí určit, označit, takhle. Co když mám další bod další bod, přímo tady. Budeme mu říkat bod Z. Představím další slovo. XY a Z leží na stejné přímce, když si představíte nekonečnou přímku. Můžeme říct, že XY a Z jsou kolineární. Tyto tři body jsou kolineární. Všechny jsou na stejné přímce a také na stejné úsečce XY. Řekněme, že nám bylo řečeno, že XZ = ZY a všechny jsou kolineární. To znamená, že vzdálenost mezi X a Z je stejná jako vzdálenost mezi Z a Y, takže někdy je můžeme označit takhle. Tato vzdálenost je stejná jako tato. Bod Z je přesně na půli cesty mezi X a Y. Bod Z bychom zde nazvali středem úsečky XY, protože je přesně uprostřed. Abychom to uzavřeli, mluvili jsme o věcech jako nulový rozměr, o bodech, mluvili jsme o věcech s jedním rozměrem, přímka, úsečka nebo polopřímka. Co má tedy dva rozměry? Mít dva rozměry znamená, že mohu jít dozadu a dopředu ve dvou různých směrech. Tahle stránka nebo video nebo obrazovka, na kterou se díváte, je dvourozměrná. Mohu jít doprava a doleva, to je jeden rozměr. Nebo mohu jít nahoru a dolů. Povrch monitoru, na který se díváte, má dva rozměry. Můžete se pohybovat ve dvou směrech Věci se dvěma rozměry nazýváme rovinné nebo roviny. Kdybyste si vzali kus papíru a roztáhli ho v každém směru do nekonečna, to by byla v geometrii rovina. Samotný kus papíru je věc, co je omezená. O tomhle se v typické hodině geometrie nemluví. Ale kdybyste to chtěli přirovnat, můžete říkat kusu papíru část roviny, protože je to úsek celé roviny. Když máme měli třetí rozměr, potom hovoříme o trojrozměrném prostoru. Tam nejen že se můžete hýbat vlevo a vpravo podél obrazovky nebo nahoru a dolů. Můžete se také hýbat směrem z obrazovky a do ní. Máme také tenhle rozměr, který se pokusím nakreslit. Můžete jít do obrazovky, nebo z ní, takhle. Jak půjdeme v matematice dál, přestože je těžké si to představit, budeme dokonce studovat věci, které mají víc než 3 rozměry.
video