Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (5/13) · 7:37

Úlohy na podobnost trojúhelníků 2 Další úlohy, ve kterých využijeme znalost podobnosti k dopočítání stran podobných trojúhelníků.

Navazuje na Pythagorova věta.
V prvním příkladu máme vypočítat délku této úsečky CE. Máme tyto rovnoběžky, AB je rovnoběžná s DE. A pak tu máme, no v podstatě 2 příčky, které tvoří tyto 2 trojúhelníky. Tak, pojďme na to. První věc, které si můžete všimnout, je, že tyto 2 úhly jsou vrcholové. Takže budou shodné. Další věc, které si můžete všimnout, je, že úhel CDE je střídavý vnitřní úhel k úhlu CBA. Máme tady příčku, a střídavé vnitřní úhly, které budou shodné. Nebo se dá říct, že když prodloužíme tuto příčku, budeme mít shodný úhel s úhlem CDE. Tento úhel bude vrcholový. Tak či tak, tyto 2 úhly budou shodné. Shodneme se na tom, že zde máme 2 trojúhelníky. A mají 2 odpovídající úhly, které jsou stejné. Už jenom to by nám mělo stačit, abychom určili podobnost. Mohli bychom... Mohli bychom ukázat, že tento úhel a tento úhel jsou také shodné díky střídavým vnějším úhlům. Ale nemusíme to dělat. Už víme, že jsou si podobné. Vlastně to víme už od chvíle, kdy jsme určili vnitřní střídavé úhly. Tyhle úhly taky budou shodné. Ale víme, že trojúhelníky jsou podobné dokonce ještě předtím. Takže už víme, že tento trojúhelník... Zaznačím to ve stejných barvách, abychom se v tom vyznali. Je nezbytné, abychom věděli, které úhly odpovídají kterým úhlům, a které strany odpovídají kterým stranám, abychom zachovali poměr, nebo abychom věděli, co odpovídá čemu. Víme, že trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku... Takže vrchol A odpovídá vrcholu E, protože jsou stejné. Vrchol B je odpovídající vrcholu D. Takže to bude trojúhelník EDC. Co to pro nás znamená? Znamená to, že odpovídající strany budou ve stejném poměru. Což znamená, že budou mít tu samou konstantu. Máme stranu BC a strana, která jí odpovídá, je strana DC. Je to vidět. Už jenom z toho, jak jsme zapsali podobnost trojúhelníku, BC je odpovídající strana k DC. Tedy víme, že délka strany BC lomeno délkou strany DC, bude stejná jako... Chceme vypočítat jak je velká strana CE, o to nám jde. A já používám strany BC a DC, protože jejich hodnoty známe. Takže BC lomeno DC se bude rovnat... Která strana odpovídá straně CE? Sraně CE odpovídá strana CA. Takže BC lomeno DC se bude rovnat CA lomeno CE. Odpovídající strany. Toto je poslední a první vrchol, a toto taky. CA lomeno CE. Známe hodnotu BC, je to 5. Víme taky, jak dlouhá je DC. DC je 3. Známe hodnotu CA, nebo chcete-li AC, je to 4. A teď stačí jen vypočítat CE. Je několik způsobů, jak na to. Mohli bychom to vynásobit do kříže, což by znamenalo vynásobit obě strany oběma jmenovateli. Dostali bychom 5 krát délka CE se rovná 3 krát 4. To se rovná 12. A pak dostaneme CE, CE se rovná 12/5. To jsou 2 a 2/5. 2 a 2/5 nebo-li 2,4. Toto bude 2 a 2/5 a to je všechno. Můžeme využít podobnosti, abychom vypočítali tuto stranu. Stačí, že víme, že poměr mezi stranami, které si odpovídají, bude stejný. Pojďme vyřešit tento příklad. Udělám tady čáru, abychom věděli, že se jedná o jiný příklad. V tomto příkladu musíme přijít na to, jak velká je strana DE. A zase tady máme 2 rovnoběžky. Tedy víme, že odpovídající úhly jsou shodné. Tento úhel se bude shodovat s tímto úhlem, protože tuto stranu můžeme vnímat jako příčku. Taky víme, že tento úhel bude shodný s tímto úhlem. Zase to jsou odpovídající úhly díky příčce. A taky oba trojúhelníky... Tím myslím trojúhelník CBD a trojúhelník CAE. Oba trojúhelníky sdílejí tento úhel nahoře. Zase jsme dokázali... Stačilo nám, abychom měli stejné 2 úhly. Ale my jsme dokázali, že všechny 3 úhly v těchto 2 trojúhelnících, tedy odpovídající si úhly, jsou shodné. Takže teď víme... A toto je důležitá věc, musíme vrcholy zapsat ve správném pořadí, když zapisujeme podobnost. Teď víme, že trojúhelník CBD je podobný, ne shodný, je podobný trojúhelníku CAE. To znamená že poměr odpovídajících stran bude konstanta. Například, poměr mezi CB a CA bude stejný... Poměr mezi CB a CA... Zapíšu to. Víme že poměr je CB lomeno CA. A ten se bude rovnat poměru CD lomeno CE. Známe velikost strany CB. CB je 5. Známe velikost CA. A teď pozor, není to 3. CA je celá tato strana, tedy 5 plus 3. Takže CA je 8. Známe velikost CD. CD je 4. A znovu, můžeme to vynásobit do kříže. Pak máme 5 krát CE se rovná 8 krát 4. 8 krát 4 je 32. CE se rovná 32/5. Neboli 6 a 2/5. Ale ještě nemáme hotovo, protože po nás nechtěli zjistit velikost CE. Chtějí znát velikost DE. Víme, že celá velikost CE je 6 a 2/5. Strana DE, kterou musíme vypočítat, bude celá délka CE, 6 a 2/5 minus CD, což je 4. Vyjde nám tedy 2 a 2/5. 6 a 2/5 minus 4 jsou 2 a 2/5. A máme hotovo. DE jsou 2 a 2/5.
video