Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (6/13) · 6:05

Úloha na podobnost, kde stejné strany hrají jinou roli Co kdybychom měli pravoúhlý trojúhelník a v něm schovaný další, jemu podobný a měli bychom za úkol dopočítat chybějící údaje?

Navazuje na Pythagorova věta.
V tomto příkladu máme za úkol vypočítat délku strany BC. Máme tady několik trojúhelníků o určitých délkách stran a několik pravých úhlů. Možná bychom mohli určit podobnost mezi některými z těch trojúhelníků. Jsou tady vlastně 3 různé trojúhelníky, kterých si můžete všimnout. Tento trojúhelník, tento trojúhelník a tento velký trojúhelník. Pokud zde určíme podobnost, mohli bychom možná využít koeficientu podobnosti a vypočítat velikost BC. Když se na to podíváme, tak tady máme pravý úhel. V trojúhelníku BDC máme jeden pravý úhel, v trojúhelníku ABC máme druhý pravý úhel. Když dokážeme, že mají další úhel shodný, neboli že další dvojice odpovídajících úhlů je shodná, pak dokážeme, že jsou si podobné. A vlastně oba tyto trojúhelníky BDC a ABC oba sdílejí tento úhel tady. Pokud sdílejí tento úhel, pak určitě mají společné 2 úhly. Mají společný tento úhel. Zapíšu to v jiné barvě, abych ho odlišil od těch pravých úhlů. Oba sdílejí tento úhel a my víme, že 2 trojúhelníky, které mají aspoň 2 úhly shodné, si budou podobné. Takže víme, že trojúhelník... Trojúhelník ABC, zapisuji to od toho neoznačeného úhlu, přes ten žlutý pravý úhel, k tomu oranžovému úhlu. Napíšu to takhle. Zapisuju to od toho neoznačeného úhlu tady, přes ten oranžový, vlastně žlutý úhel, mám problém s barvami, k tomu oranžovému úhlu. ABC. A tady si musíme dávat pozor, protože určité vrcholy nemusí odpovídat stejně označeným vrcholům v druhém trojúhelníku. Chceme se ujistit, že podobnost zapisujeme správně. Od bílého vrcholu, přes vrchol s pravým úhlem a k oranžovému vrcholu. Ten bude podobný trojúhelníku... Tak, který z těchto úhlů není ani pravý úhel... Díváme se na tento menší trojúhelník. Který z těchto úhlů není ani pravý úhel, ani oranžový úhel? Vrchol B má pravý úhel, když se díváme na ten větší trojúhelník, ale nebrali jsme v úvahu tento malý úhel. Takže začneme vrcholem B, pak musíme pokračovat k pravému úhlu, pravý úhel je u vrcholu D, a pak máme vrchol C, který je oranžový. Dokázali jsme, že trojúhelníky jsou si podobné. A teď, když víme, že jsou si podobné, můžeme se pokusit vypočítat koeficient podobnosti mezi stranami. Zamyslete se nad tím, známe délku AC, AC se bude rovnat 6 plus 2, tedy 8. Takže jaká strana bude odpovídající k AC v tomto trojúhelníku? Určíte to podle barev. AC je odpovídající strana k BC. První vrchol a třetí vrchol, první a třetí vrchol. AC odpovídá BC. A tohle je zajímavé, protože už máme ve výpočtech zahrnutou i stranu BC. A která strana bude odpovídat... Když se podíváme na stranu BC v tom větším trojúhelníku, které straně bude BC odpovídat v menším trojúhelníku? Její odpovídající strana bude DC. Což je fajn, protože známe velikost stran AC i DC, tím pádem dokážeme vypočítat BC. Ještě se u toho trošku zastavíme, abych vám vysvětlil, co jsme udělali, protože BC tady hraje dvě různé úlohy. V prvním výrazu, kde počítáme s BC, BC na menším trojúhelníku odpovídá straně AC na větším trojúhelníku. A v druhém výrazu, BC na větším trojúhelníku odpovídá straně DC na menším trojúhelníku. Toto jsou strany většího trojúhelníku, a tyto strany zde jsou z menšího trojúhelníku. Odpovídající strany. Toto je vážně super příklad, protože strana BC hraje 2 rozdílné role v každém z trojúhelníků. Ale teď už máme dostatek informací, abychom mohli vypočítat stranu BC. Víme, že strana AC je 9. Oh, pardon, AC je 8. Strana AC je 8, protože 6 plus 2 je 8. A víme, že strana DC má velikost 2, máme to zadáno. Teď to můžeme vynásobit do kříže, 8 krát 2 je 16, to se rovná BC krát BC, tedy BC na druhou. Tedy BC se bude rovnat odmocnině ze 16, což je 4. BC se rovná 4 a máme to. Nejtěžší na tomto příkladu je si uvědomit, že BC může fungovat jako 2 různé strany. Abychom si to uvědomili a vyjasnili, nakreslím ty 2 trojúhelníky radši zvlášť. Když načrtnu ABC samostatně, vypadal by nějak takto. Toto je můj trojúhelník ABC, tady je pravý úhel, toto je náš oranžový úhel. Víme, že délka této strany je 8. A víme, že délka této strany, kterou jsme z tohoto příkladu vypočítali, je 4. Pokud chceme načrtnout BDC, udělali bychom to takto. BDC vypadá takto. Toto je BDC. Je jednodušší ho nakreslit, protože... Toto je náš pravý úhel, toto je náš oranžový úhel, toto má velikost 4 a tato strana má velikost 2. Zakreslil jsem to takto, abych ukázal, že stačí tento trojúhelník převrátit a otočit, abychom ho měli ve stejné poloze, a potom to snad vypadá trošku jasněji. Pokud vám dělala tato část problémy, zkuste převrátit a pootočit trojúhelník BDC tak, aby vypadal jako ABC. Výpočty poměrů teď snad dávají větší smysl.
video