Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků (2/13) · 9:17

Základy podobnosti trojúhelníků Co to znamená, když jsou trojúhelníky podobné? Jak se dá určit koeficient podobnosti?

Navazuje na Pythagorova věta.
Když porovnáme trojúhelník ABC s trojúhelníkem XYZ, tak je úplně jasné, že nejsou shodné. Mají úplně rozdílné délky stran. Ale můžeme tady vidět něco zajímavého o vztahu mezi těmito dvěma trojúhelníky. Všechny jejich úhly jsou stejné. Takže tento úhel, úhel BAC je shodný s úhlem XYZ. Úhel BCA je shodný s úhlem YZX. A úhel ABC je shodný s úhlem XYZ. Takže všechny jejich úhly, které si odpovídají, jsou shodné. A také můžeme vidět, že tyto strany jsou pouze zvětšené verze těchto ostatních. Strana XZ je vlastně strana AC, když délku XZ vynásobíme 3. Abychom dostali délku strany AB, protože strana AB odpovídá straně XY, tak vynásobíme stranu XY 3 krát. A potom chceme ze strany YZ získat délku strany BC, takže ji také vynásobíme 3. V podstatě trojúhelník ABC je pouze zvětšená verze trojúhelníku XYZ. Kdyby měly stejné měřítko, tak by to byly shodné trojúhelníky, ale jeden z nich je větší, je to zvětšená verze toho prvního, který je menší. Když vynásobíte všechny strany 3, tak dostanete tento trojúhelník. Takže je nemůžeme nazývat shodné, ale zdá se, že je zde speciální vztah. Tento vztah nazýváme podobnost. Takže můžeme napsat: trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku… Musíme si být jisti, že odpovídající strany jsou v pořádku, ABC je shodný s XYZ. A také na základě toho, co jsme právě viděli, jsou zde vlastně 3 druhy pojetí a všechny jsou rovnocenné v tom, že mluví o podobnosti. Jedna možnost je, že jeden trojúhelník je zmenšenou verzí toho druhého. Řekněme zmenšená nebo zvětšená verze. Když mluvíme o shodnosti, tak jsou stejné. Můžete ho otočit, můžete ho posunout nebo překlopit, ale všechny z těchto věcí by měly být identické. S podobností můžeme trojúhelník otočit, posunout nebo překlopit, také ho můžeme zmenšit a trojúhelníky budou pořád podobné. Takže například, když řeknete, že je něco shodné, řekněme tento trojúhelník CDE, když víme, že trojúhelník CDE je shodný s trojúhelníkem FGH, potom víme jistě, že jsou podobné. Trojúhelník je zvětšený násobkem 1. Takže jistě víme, že CDE je také podobný s FGH, ale nemůžeme říci nic dalšího. Když je trojúhelník ABC podobný trojúhelníku XYZ, nemůžeme říct, že jsou určitě shodné. A v tomto konkrétním příkladě vidíme, že ani shodné nejsou. Takže toto je jeden způsob, jak přemýšlet o shodnosti. Další způsob, jak přemýšlet o shodnosti je, že všechny odpovídající si úhly budou shodné. Takže když je něco podobné, tak všechny odpovídající si úhly jsou shodné. Odpovídající si úhly, vždycky mám problém to napsat. Jsou tady dvě R, jedno S. (odpovídající = corresoponding) Odpovídající úhly jsou shodné. Takže když řekneme, že trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku XYZ, tak je to stejné, jako kdybychom řekli, že úhel ABC je shodný… Nebo můžeme říci, že velikost úhlu ABC se rovná velikosti úhlu XYZ. Tento úhel BAC, je shodný s úhlem YXZ. A nakonec úhel ACB je shodný s úhlem XZY. Takže když máte dva trojúhelníky a všechny jejich úhly jsou shodné, tak můžete říci, že jsou podobné. Nebo když najdete dva trojúhelníky, a víte, že to jsou podobné trojúhelníky, pak víte, že všechny jejich odpovídající si úhly jsou stejné. A nakonec, myslím, že poslední způsob, jak si to vyložit je, že všechny strany jsou zvětšené verze odpovídajících stran druhého trojúhelníku. Strany vynásobené stejným číslem. V příkladu, který jsme teď dělali, bylo 3 tím číslem. Nemusí to ale být 3. 3 je pouze číslo, kterým se vynásobí každá strana. Když tuto stranu vynásobíme 3 a tuto stranu pouze 2, tak nedostaneme podobný trojúhelník. Ale když vynásobíme všechny jeho strany například 7, bude stále podobný. Bude podobný, když budete všechny jeho strany násobit nebo dělit stejným číslem. To je tedy další způsob, jak si to vyložit. Chci si ještě představit tyto trojúhelníky. Překreslím tyto trojúhelníky, ale jednodušeji. Mluvím o obecných podmínkách, ne o speciálních případech. Tak řekněme, že toto je A, B a C. A tohle tady je X, Y a Z. Překreslil jsem je, takže to, co budu psát tady, se bude vztahovat právě k nim. Když jsme řekli, že tyto dvě věci jsou podobné, znamená to, že odpovídající si strany jsou navzájem zvětšené/zmenšené verze. Můžeme tedy říci, že délka AB se rovná konstantě… A konstanta může být klidně menší než 1. Nějaká konstanta násobí délku odpovídající strany XY. A já vím, že AB odpovídá XY, protože jsem konstatoval jejich podobnost. Takže stranu XY vynásobím nějakou konstantou. Víme, že BC, délka BC, je stejná konstanta, ta stejná konstanta, krát délku YZ. Vynásobíme délku YZ stejnou konstantou. A potom víme, že délka AC se rovná délce XZ vynásobené stejnou konstantou. Toto je XZ a toto je konstanta. AB je delší než XY, když je trojúhelník ABC větší než XYZ, potom bude konstanta větší než 1. Když mají přesně stejnou délku, když jsou to shodné trojúhelníky, v tom případě je konstanta rovna 1. A kdyby byl trojúhelník XYZ větší než trojúhelník ABC, potom by byla konstanta menší než 1. Ale je ještě další způsob, jak to zapsat. Strana 1. trojúhelníku je zmenšená strana odpovídající strany 2. trojúhelníku. Když vydělíte obě strany délkou XY, dostanete AB děleno XY, což je konstanta. A druhé tvrzení je přímo tady, když vydělíte obě strany délkou YZ… Vezmu si správnou barvu. Dostanete, že BC děleno YZ se rovná konstantě. U příkladu, který jsme si ukazovali, byla konstanta 3, ale teď můžeme říci obecně, že podobnost je možná v případě, že máte jednotnou konstantu. A nakonec, když vydělíte obě strany délkou mezi body X a Z, tedy délkou části XZ, tak dostanete AC děleno XZ, a to je rovno konstantě. Nebo další způsob, jak to pochopit je, že poměr mezi odpovídajícími si stranami, podívejte, toto je poměr mezi AB a XY. Poměr mezi BC a YZ. A poměr mezi AC a XZ. Všechny poměry mezi odpovídajícími si stranami nám dávají tu stejnou konstantu. Můžete to přepsat: AB děleno XY se rovná BC děleno YZ a to se rovná AC děleno XZ. A to se rovná nějakému konstantě, která je K. Takže když máte podobné trojúhelníky, nakreslím zde šipku, znamená to, že jeden trojúhelník je zmenšenou verzí druhého. Můžete dělat všechno, co při shodnosti, překlopit, otočit… a můžete je také zmenšit nebo zvětšit, což znamená, že všechny odpovídající si úhly jsou shodné. A to také znamená, že poměr mezi odpovídajícími si stranami je stejný pro všechny odpovídající si strany. Poměr mezi odpovídajícími si stranami je tedy konstanta.
video