Úvod do goniometrických funkcí

V tomto videu se naučíme základy trigonometrie Zní to velmi složitě ale brzy uvidíte, že je to jen práce s poměry stran trojůhelníků. Trig ve slově trigonometrie doslovně znamená trojúhelník a metrie doslovně znamená míra, měřit. Dejme si teď několik příkladů. Myslím, že vám pak bude vše jasné. Teď si nakreslíme nějaký pravoúhlý trojúhelník. Jeden pravoúhlý trojúhelník, tak tady ho máme. Když říkám, že je to pravoúhlý trojúhelník, je to proto, že jeden z jeho úhlů je 90 stupňů. Toto je ten úhel, který má 90°. Je to přesně 90°. V dalších videích budeme mluvit o způsobech jak zjišťovat velikost úhlů. Tak tedy máme pravý úhel. Je to tedy travoúhlý trojúhelník. Zvolme si nyní nějakou délku této strany. Tato strana bude například 3, výška trojúhelníku je 3. tato strana trojúhelníku bude například 4. a nyní přepona trojúhelníku zde bude 5. Pojem přepona se používá pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Je to ta strana proti pravému úhlu, je to nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku. Tak toto je tedy přepona. Pravděpodobně jste už o tom slyšeli v geometrii. Můžeme si také ověřit, že je tento trojúhelník pravoúhlý Z Pythagorovy věty víme, že 3 na druhou plus 4 na druhou, by mělo dát druhou mocninu délky nejdelší strany, délky přepony na druhou, tedy 5 na druhou Vidíme, že to funguje A to je ta úřasná Pythagorova věta. A nyní se konečně dostáváme k trigonometrii. Základní trigonometrické funkce, naučíme se nyní podrobněji co to vlastně znamená. Toto je sinus, funkce sinus. Toto je funkce kosinus a tady funkce tangens. Zkráceně zapisujeme sin, cos nebo tan (tg). A tyto funkce vyjadřují pro každý úhel v tomto trojúhelníku určité poměry stran. Dovolte mi ještě jednu poznámku. A mnemotechnická pomůcka v angličtině, pro snadné zapamatování definic těchto funkcí, je "princezna Soh-cah-toa". Napíšu to. Pokud se naučíte anglicky: protilehlá - opposite, přilehlá - adjacent a přepona - hypotenuse, budete se divit, jak moc je tato pomůcka v trigonometrii užitečná. Jak jsou tedy tyto funkce definovány. Soh: sinus = opposite / hypotenuse Tedy: sinus úhlu je protilehlá odvěsna ku přeponě. Říká nám to -- a teď vám to asi ještě nebude jasné Ukážu to podrobně za chviličku. Dál máme: Cah: cosine= adjacent / hypotenuse. Tedy: Kosinus úhlu je přilehlá odvěsna ku přeponě. a konečně Toa: tangent=opposite / adjacent Tedy: tangens úhlu je protilehlá ku přilehlé odvěsně. Možná si právě říkáte, ale jak poznám protilehlou a přilehlou odvěsnu a přeponu? Dobře, vezměme si tento úhel. Označme si tento úhel theta, Je to úhel mezi stanou o délce 4 a stranou o délce 5, to je théta. Nyní si zjistíme, čemu se rovná sinus theta kosinus theta a jaký je tangens tohoto úhlu. Nejdříve se zaměříme na sinus úhlu theta z definice víme, že sinus je protilehlá odvěsna ku přeponě. Takže, co znamená protilehlá strana k úhlu? Tak toto je náš úhel, protilehlá strana je ta, která je naproti, nikoli jedna ze stran, mezi nimiž úhel leží, protější strana je 3, vypadá to, že úhel je rozevřen ke straně délky 3, tedy protilehlá strana je 3. A nyní, co je přepona? To my přece víme, přepona je 5. Tedy máme 3 ku 5. sinus úhlu theta je zlomek 3/5. Později vám ukážu, že sinus úhlu theta - pokud je to tento určitý úhel, vždy bude 3/5 Poměr protilehlé strany a přepony vždy vyjde stejně, dokonce i když tento troúhelník zvětšíme nebo zmenšíme. To si ale ukážeme později. Nyní se podíváme na ostaní trigometrické funkce. Jak vypadá kosinus theta? Kosinus je přilehlá ku přeponě, jak si jistě pamatujete napišmě si to. Už jsme si odvodili, že strana délky 3 je protilehlá. toto je protilehlá. a to pouze pokud hovoříme o tomto úhlu. Když hovoříme o tomto úhlu - je toto protilehlá strana. Pořád jsme u stejného úhlu, strana o délce 4 je k němu přilehlá, je to jedna ze stran, která ho tvoří, vytváří v něm vrchol. Tak toto je ta přilehlá strana. Mějme na paměti, že to platí pouze pro tento úhel. Pokud se budeme bavit o tomto úhlu, tak ta zelená strana bude protilehlá, a ta žlutá strana bude přilehlá. Zaměřujeme se tedy na tento úhel. kosinus tohoto úhlu je tedy - přilehlá strana k tomuto úhlu je 4, tedy přilehlá ku přeponě, což je 4, ku přeponě 4 ku 5. Nyní určíme tangens. Jdeme na to. Tangens theta je protilehlá ku přilehlé. Protilehlá strana je 3. Která strana je přilehlá? Už jsme si odvodili, že přilehlá strana je 4. Tedy, když známe strany tohoto pravoúhlého trojúhelníku, jsme schopni odvodit základní trigonometrické vztahy. A brzy uvidíme, že jsou tu ještě jiné vztahy, ale ty se také dají odvodit z těchto tří základních funkcí. Nyní, budeme uvažovat jiný úhel z tohoto trojúhelníku. A raději si to překreslíme, protože ten můj trojúhelník začíná být trošku přeplácaný. takže si nakreslíme přesně ten samý trojúhelník. Stejný trojúhelník. a ještě jednou, délky stran tohoto trojúhelníku jsou - máme 4, pak máme 3, máme délku 5. V minulém příkladu jsme používaly tento úhel theta. Nyní si vezmeme jiný úhel, a nazveme ho - teď nevím, něco vymyslím velké řecké písmeno. Řekněme, že to bude psí. Vím, že je to poněkud podivné. Normálně se používá theta, ale tu už jsem použil minule, tak použijeme psi. Nebo si to zjednodušíme, pojmenujme tento úhel x. Označíme tento úhel x. Nyní si vypíšeme trigonometrické funkce pro úhel x. Takže máme sinus x, to je přilehlá k čemu? To je legrace, sinus je protilehlá ku přeponě. Tedy, co je protilehlá k x? Úhel se jakoby otevírá ke straně délky 4, otevírá ke straně délky 4. Pro tento úhel, je to tedy nyní protilehlá strana, nyní protilehlá strana. Pamatujete: 4 byla přilehlou stranou k úhlu theta, ale je protilehlou k úhlu x. takže budeme mít 4 ku - jaká je naše přepona? Jistě, přepona je pořád stejná, ať už si vybereme kterýkoli z úhlů, takže přepona je 5, máme tedy výsledek 4/5. Nyní si zkusme další, jaký je kosinus x? Tedy, kosinus je přilehlá ku přeponě. Která strana je přilehlá k úhlu x, není to přepona? Přeponu máme tady. Takže strana délky 3, je jedna ze dvou stran, které tvoří úhel x, a není to přepona, je to tedy přilehlá strana. Tak toto je přilehlá odvěsna. máme tedy 3 ku přeponě, přepona je 5. A nakonec tangens. Chceme odvodit vztah pro tangens x. Tangens je protilehlá ku přilehlé. "soh cah toa", tangens = opposite / adjacent, přilehlá děleno protilehlou. Protilehlá strana je 4. Napíšeme ji modře. Protilehlá strana je 4, přilehlá strana je 3. A máme to! A v dalším videu si to ukážeme na více příkladech, teď už máme dobrý základ. Ale nechám vás přemýšlet, co se stane, když se tento úhel bude blížit k 90 stupňům, nebo bude dokonce větší než 90 stupňů. A ukážeme si jak nás tyto definice, sin, cos a tan dovedou daleko pro úhly mezi 0 a 90 stupni, tedy pro úhly menší než 90 stupňů. Může se to na začátku zkazit, . tak si představíme nové definice, které jsou pomocí těchto odvozeny, a pomocí nichž dokážeme najít sinus, cosinus a tangens libovolného úhlu.