Úvod do goniometrických funkcí
Přihlásit se
Úvod do goniometrických funkcí (3/15) · 7:04

Příklad: Dopočítejte všechny strany a úhly s použitím goniometrických funkcí Pomocí goniometrických funkcí dopočítáme velikosti všech stran a úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Zadanou máme velikost jedné strany a jednoho úhlu.

Navazuje na Pythagorova věta.
Máme za úkol vyřešit tento pravoúhlý trojúhelník. Zaokrouhlete délky stran na 1 desetinné místo. Když říkají vyřešit pravoúhlý trojúhelník, dá se předpokládat, že tím myslí vypočítat délky všech stran. Takže kolik měří strana a, kolik měří strana b. A také, jakou velikost mají všechny úhly. Máme zadány 2 úhly. Asi bychom měli vypočítat tento třetí úhel. Je několik způsobů, jak na to, ale napřed se pokusíme poprat se se stranou XW, tedy zjistit, jak velká je strana a. Dám vám radu. Můžeme požít kalkulačku, a když použijeme kalkulačku, můžeme využít trigonometrických funkcí, které už dobře známe. Dám vám chvilku, abyste zkusili popřemýšlet, jak vypočítat velikost strany a. Tak, co víme o tomto trojúhelníku? Známe úhel Y. Známe velikost strany, která je přilehlá k úhlu Y. A strana a je strana, která je protější k úhlu Y. Která trigonometrická funkce počítá s protější a přilehlou stranou? Když se díváme na úhel Y, vzhledem k němu je tato strana protější. A tato strana je strana přilehlá. Pokud se vám to špatně pamatuje, vzpomeňte na SohCahToa. - opposite (protilehlá odvěsna), adjacent (přilehlá odvěsna) a hypotenuse (přepona)- Sinus (S) počítá s protilehlou odvěsnou (o) a přeponou (h). Kosinus (C) počítá s přilehlou odvěsnou (a) a přeponou (h). Tangens (T) počítá s protilehlou (o) lomeno přilehlou odvěsnou (a). Můžeme tedy říct, že tangens 65 stupňů, tady toho úhlu, který má 65 stupňů, se rovná délce protilehlé odvěsny, o níž víme, že její délka je a, lomeno délka přilehlé odvěsny, kterou máme zadanou v náčrtku, její délka je 5. Mohli byste se ptát: "Jak z toho vypočítám stranu a?" Použijeme kalkulačku, abychom zjistili, kolik je tangens 65 stupňů. A pak vypočítáme a. Vlastně, pokud bychom chtěli zrovna dostat výraz a samostatně, museli bychom pouze vynásobit obě strany rovnice krát 5. Pojďme na to. Krát 5, krát 5. Toto se pokrátí a vyjde nám, pokud tu rovnici otočíme, vyjde nám a se rovná 5 krát tangens 65 stupňů. Teď vytáhneme kalkulačky a vypočítáme, kolik to bude, zaokrouhleno na 1 desetinné místo. Tohle je moje šikovná kalkulačka TI-85, máme 5 krát tangens... Nemusím mačkat tuto druhou funkci, stačí obyčejný tangens 65 stupňů. A pokud to zaokrouhlím na 1 desetinné místo, dostanu 10,7. Takže a se rovná asi 10,7. Říkám asi, protože jsem výsledek zaokrouhlil dolů. Toto není úplně přesný výsledek. Každopádně a je 10,7. Takže teď už víme, že tato strana je dlouhá asi 10,7. Je několik způsobů, jak vypočítat b. Teď vás nechám si vybrat způsob, který je vám bližší. Ale pak to vyřeším tak, jak budu chtít já. Další otázka tedy zní: Jaká je velikost strany YW? Jinými slovy, jak veliká je strana b? Je několik způsobů, jak na to. Strana b je vlastně přepona. Takže můžeme využít trigonometrické funkce, která počítá s přilehlou odvěsnou nebo protilehlou odvěsnou lomeno přeponou. Nebo můžeme aplikovat Pythagorovu větu. Známe 2 strany pravoúhlého trojúhelníka. Třetí stranu dokážeme vypočítat jednoduše. Budu pokračovat v trigonometrii, protože tu se teď učíme. Takže délka strany b je délka přepony. Strana WY je přepona. Kterou trigonometrickou funkci... My si vlastně můžeme vybrat. Můžeme použít protilehlou odvěsnu a přeponu. Můžeme použít přilehlou odvěsnu a přeponu. Protože víme, že XY je přesně 5, a nemusíme se otravovat s desetinnými čísly. Tak použijeme tuto odvěsnu. Která trigonometrická funkce zahrnuje přilehlou odvěsnu a přeponu? Mrkněte na SohCahToa. Kosinus je přilehlá odvěsna lomeno přepona. Můžeme říct, že kosinus 65 stupňů se rovná délce přilehlé odvěsny, která je 5, lomeno přeponou, jejíž délka je b. Teď můžeme zkusit vyřešit b. Vynásobíme obě strany rovnice krát b, vyjde nám b krát kosinus 65 stupňů se rovná 5. Pokud chceme vypočítat b, můžeme obě strany rovnice vydělit kosinem 65 stupňů. Toto je jenom číslo. Takže dělíme číslem... Když to vypočítáme na kalkulačce, tak nám vyjde číslo. Obě strany tedy vydělíme kosinem 65 stupňů. Zbude nám b se rovná 5 lomeno kosinus 65 stupňů. Teď použijeme kalkulačku, abychom vypočítali délku b. Délka b je 5 děleno kosinus 65 stupňů. A pokud to zaokrouhlím na 1 desetinné místo, dostanu 11,8. Strana b se rovná asi 11,8, zaokrouhleno na 1 desetinné místo. Strana b se rovná 11,8. Tento trojúhelník už máme skoro vyřešený. Toto jste mohli vypočítat i pomocí Pythagorovy věty, která by byla: 5 na druhou plus 10,7 na druhou se rovná b na druhou. Snad byste pak dostali stejný výsledek. Poslední věc, kterou musíme vyřešit, je velikost úhlu W. Zase vám dám příležitost, abyste nad tím zkusili popřemýšlet sami. Tady nám stačí, abychom si uvědomili, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Úhel W plus 65 stupňů, to je tento úhel, plus pravý úhel, protože toto je pravoúhlý trojúhelník, nám dohromady dají 180 stupňů. Všechno co musíme udělat... Zjednodušíme si tu levou stranu rovnice. 65 plus 90 je 155. Takže úhel W plus 155 stupňů se rovná 180 stupňů. Z toho už dostaneme úhel W, když odečteme 155 od obou stran. Úhel W se rovná 25 stupňů. A tím jsme vyřešili celý tento pravoúhlý trojúhelník.
video