Používání doplňkových úhlů

Už jsme si řekli, že kosinus 58 stupňů je roven asi 0,53. Je to zaokrouhlené, za tou trojkou je ještě hodně čísel. Naším úkolem je zjistit, kolik je sinus 32 stupňů. Doporučuji vám si zastavit video a zkusit si to. Nápovědou vám může být tento trojúhelník, kde jeden úhel má velikost 32 stupňů. Nejdříve si dopočítejte všechny úhly a poté si vzpomeňte na definice soh-cah-toa. Z tohoto už jsme schopni zjistit, čemu se rovná sinus 32 stupňů. Přepokládám, že už jste to promysleli, takže se teď na to podíváme spolu. Víme, že součet úhlů v trojúhelníku je roven 180 stupňům. Také víme, že v pravoúhlém trojúhelníku již 90 stupňů zabírá pravý úhel. To znamená, že druhé dva úhly musí mít v součtu 90 stupňů. Tyto dva, co mají dohromady 90 plus pravý úhel 90 stupňů se rovná 180 stupňů. Nebo si to můžeme vzít i tak, že platí, že tyto dva úhly jsou navzájem doplňkové. Úhel při vrcholu B dopočítáme jako 90 minus 32, což je rovno 58 stupňů. Dopočítali jsme tento úhel, jeho velikost je 58 stupňů. To se nám hodí, protože již víme, čemu je roven kosinus 58. Pojďme se teď zamyslet nad poměry stran v tomto trojúhelníku. Pro připomenutí tu napíšu soh-cah-toa. Sinus je protilehlá ku přeponě. Kosinus je přilehlá ku přeponě. Tangens je protilehlá ku přilehlé. Zapíšeme si, čemu se rovná kosinus 58 stupňů dle těchto definic. Kosinus je, ještě jednou, přilehlá ku přeponě. Tento úhel je ten, co měří 58 stupňů. K němu přilehlá strana je tato, BC. Je to strana, která spolu s přeponou vytváří právě tento úhel. Toto je přepona, naproti pravému úhlu. Bude to tedy rovno přilehlé straně BC lomeno délkou přepony AB. Teď si stejně pojďme napsat, čemu se rovná sinus 32 stupňů. Sinus 32 stupňů bude... ...sinus je protilehlá ku přeponě. Teď se díváme očima úhlu o velikosti 32 stupňů. Která strana je mu protilehlá? Vidíme, že je to strana BC. A kde přepona? Tu už jsme tu jednou měli, ta se nemění, je to pořád AB. Všimněte si, že sinus 32 stupňů je rovno zlomku BC lomeno AB a kosinus 58 stupňů je rovno naprosto stejnému zlomku. Takže zjišťujeme, že sinus tohoto úhlu je stejný jako kosinus tohoto úhlu. Proto můžeme napsat, že sinus 32 stupňů je rovno kosinu 58 stupňů. To je přibližně rovno 0,53. Tohle je hodně užitečná vlastnost goniometrických funkcí. Platí, že sinus úhlu je roven kosinu jeho doplňkového úhlu. Mohli bychom si to ještě napsat obecně. Tedy že sinus úhlu theta je roven kosinu jeho doplňkového úhlu, neboli kosinu (90 minus theta). Zkuste se nad tím zamyslet, mohl bych změnit zadání příkladu. Pokud by tady místo sinu 32 bylo sinus 25 stupňů, a zároveň bychom měli zadaný kosinus.. ...kolik je 90 minus 25? ...a zároveň by byl zadaný kosinus 65 stupňů. Potom bychom tady měli 25, doplňkový úhel by byl tady s hodnotou 65 stupňů. No a potom bychom na to šli úplně stejně jako v původním příkladu.