Úvod do goniometrických funkcí
Přihlásit se
Úvod do goniometrických funkcí (8/15) · 5:44

Příklad: Slovní úloha s použitím goniometrických funkcí a vlastností úhlů Jak hluboko je pyramida potopená?

Navazuje na Pythagorova věta.
Řeka Nil se rozvodnila a zaplavila celé své okolí, kromě špičky Velké pyramidy v Gíze (Egypt). Expedice vyrazila zjistit, jak vysoko voda stoupla. Lidé změřili hranu pyramidy nad hladinou a zjistili že měří 72 metrů. Takže tahle vzdálenost je 72 metrů. Věděli, že délka celé hrany pyramidy je 180 metrů, když není pod vodou. Takže tahle celá délka je 180 metrů. Také věděli, že výška pyramidy je 139 metrů. Takže tohle je 139 metrů. Jaká je výška hladiny nad zemí? Takže země je právě tady, u paty pyramidy. A chtěli vědět jak vysoko je hladina nad zemí. Takže to je tato výška, výška v tomhle místě. Budeme tomu říkat 'h'. Chceme zjistit kolik je 'h'. Zaokrouhlete vaši odpověď, jestli to bude potřeba, na dvě desetinná místa. Takže, co víme, a co chceme vědět? Takže tenhle malý úhel nazvali theta. A tohle je, samozřejmě, pravý úhel. Takže tenhle úhel u paty pyramidy bude doplňkový úhel k úhlu theta. Bude to 90 stupňů minus theta. A s použitím téhle informace můžeme taky zjistit, že tenhle úhel tady nahoře je taky theta. Pokud vám to přijde trochu divné, tak to napřed nakreslím tady a vysvětlíme si to. Pokud máme úhel, pravý úhel, kde tenhle úhel tady je 90 minus theta, a chceme zjistit, co je tady, řekněme že tohle je 'x'. Takže, můžeme říct, že 'x' plus 90 minus theta. 90 stupňů minus theta, plus 90 stupňů se bude rovnat - no, prostě součet úhlů v trojúhelníku je vždy 180 stupňů. Takže, když odečteme 180 od obou stran, takže to je 100 a tohleto je 100. To je 180 zleva, 180 zprava. Dostaneme 'x' minus theta se rovná nula. Nebo pokud přidáme theta na obě strany, 'x' se rovná theta. Takže tahle věc nahoře bude taky theta. Takže tohle bude theta. A co víme dál? No, víme že tohle je 72. A víme že celá tahle věc je 180. Takže tohle je 72, a tohle celé je 180. Ta část hrany která je po vodou, tahle vzdálenost, právě tady. Nakreslím to tady. Udělám to černě. Tahle vzdálenost tady bude 108. 108 plus 72 je 180. Takže, k čemu nám to je? Chceme zjistit tuhle výšku. Víme že tady to je pravoúhlý trojúhelník. Vybarvím to, aby to bylo lépe vidět. Tahle žlutá věc, to je pravoúhlý trojúhelník. Pokud vezmeme tenhle pravoúhlý trojúhelník, a chceme spočítat 'h' a použít pro to trigonometrii založenou na úhlu theta, který je tady. Víme, že pro úhel theta je tahle délka 'h' přilehlá strana. A tahle délka 108 podél hrany je přepona tohohle žlutého trojúhelníku, který jsme si vybarvili. Takže jakou trigonometrickou funkci použijeme pro přilehlou a přeponu? (mnemotechnická pomůcka) (funguje jen anglicky) Sinus je protilehlá ku přeponě. To by byla tahle délka ku přeponě. Kosinus je přilehlá ku přeponě. Takže kosinus theta se bude rovnat téhle výšce, která nás zajímá. To je přilehlá strana tohoto pravoúhlého trojúhelníku dělená délkou přepony, dělená 108. No, to nám nepomůže, protože nevíme kolik je kosinus theta. Ale je tady nápověda. Theta je taky tady nahoře. Takže možná když zjistíme, kolik je kosinus theta podle toho nahoře, tak to můžeme spočítat taky pro 'h'. Takže když se na to podíváme, co je to kosinus theta? A teď se díváme na jiný pravoúhlý trojúhelník. Díváme se teď na celý tenhle pravoúhlý trojúhelník. Podle tohohle velkého pravoúhlého trojúhelníku, kolik je kosinus theta? No, kosinus theta, znovu, se rovná délce přilehlé strany děleno přeponou. Délka přilehlé strany je právě tady. Už víme, že to je 139 metrů. Takže se to rovná 139 metrů. A kolik je délka přepony? Přepona je tohle, tahle délka. Je to 72 plus 108. Jejda, my už to máme napsané tady. Je to 180. Můžeme předpokládat, že je to rovnostranný... že tahle pyramida je rovnostranný trojúhelník. Takže 180 na téhle straně a 180 na druhé straně. Takže kosinus je přilehlá: 139 děleno přepona, což je 180. Děleno 180. A tohle bude to samé. Právě jsme si to ukázali. Takže víme, že kosinus theta je 'h' lomeno 108. Kosinus theta je taky 139 lomeno 180. Nebo můžeme říct, že 'h' lomeno 108, což je kosinus theta, se rovná 139 lomeno 180. Obě tyhle věci jsou kosinus theta. Takže abychom zjistili 'h', prostě obě strany vynásobíme 108. Takže 'h' se rovná 139 krát 108 lomeno 180. Takže vezmeme kalkulačku a spočítáme to. Takže to je 139 krát 108, lomeno 180, to je 83,4 metrů. Takže 'h' se rovná 83,4 metrů. Hloubka vody je 83,4 metrů.
video