Úvod do goniometrických funkcí
Přihlásit se
Úvod do goniometrických funkcí (11/15) · 5:34

Příklad: Zjištění úhlu pomocí sinové věty Z dvou zadaných stran a jednoho úhlu vypočítáme zbylé úhly.

Navazuje na Pythagorova věta.
Řekněme, že jste venku a pouštíte s kamarádem draky a jste 40 metrů od vašeho kamaráda a víte, že provázek od draka je 30 metrů dlouhý. A změříte úhel mezi drakem a zemí, na které stojíte. Ten úhel je v tomto případě 40 stupňů. A zajímá vás, jestli dokážeme použít trigonometrii, abychom určili úhel mezi provázkem a zemí. Doporučuji si video pozastavit a zkusit, zda to pomocí těchto informací dokážete určit. Když vidím trojúhelník, pravděpodobně ne pravoúhlý, u kterého potřebuji určit délky stran, vzpomenu si na kosinovou větu, která se může hodit společně se sinovou větou. Takže se zamysleme, která se bude víc hodit. Kosinová věta, zde si to napíšu, kosinová věta bude ‚c‘ na druhou se rovná ‚a‘ na druhou plus ‚b‘ na druhou minus 2 krát ‚a‘ krát ‚b‘ krát kosinus theta. Takže se nám vztahuje ke třem stranám trojúhelníka. Takže ‚a‘, ‚b‘ a ‚c‘ a úhel. Takže například, když znám dvě strany a úhel mezi nimi, můžu vyřešit délku třetí strany. Když znám všechny tři strany mohu vyřešit zbylý úhel. To ale není naše situace. Chceme vyřešit zde tento otazník. Ale neznáme všechny strany. Takže alespoň na první pohled nám kosinová věta nepomůže. Mohl bych zkusit zjistit velikost tohoto úhlu. Ale ještě jednou zopakuji, neznáme všechny tři strany. Takže zkusme sinovou větu. Sinová věta. Řekněme, že zde máme velikost úhlu ‚a‘. velikost tohoto úhlu bude ‚b‘ a velikost posledního bude ‚c‘. Délka této strany bude velké ‚C‘, délka této strany velké ‚A‘ a délka této strany velké ‚B‘. Sinová věta nám říká, že poměr sinu každé této strany a délky protilehlé strany je konstantní. Takže sinus ‚a‘ děleno velké ‚A‘ se rovná sinu ‚b‘ děleno velké ‚B‘, což se také bude rovnat sinu ‚c‘ děleno velké ‚C‘. Pojďme se podívat, jak to můžeme využít. Známe tento úhel a jeho protilehlou stranu. Takže si napíšeme jejich poměr. Sinus 40 děleno 30. Podívejme se na to. Můžeme říct, že se tohle bude rovnat sinu tohoto úhlu děleno touto stranou? Vlastně ano. Akorát neznáme ani jednu z hodnot. Takže by nám to moc nepomohlo. Avšak známe tuto stranu. Možná bychom mohli použít kosinovou větu. k vyřešení tohoto úhlu. Takže to zkusme. Řekněme, že tento úhel zde bude úhel theta. Víme, že tato vzdálenost je 40 metrů. Takže můžeme říct, že sinus úhlu theta děleno 40, tento poměr, bude stejný jako poměr sinus 40 děleno 30. Takže už jen vyřešíme velikost úhlu theta. Vynásobíme obě strany rovnice 40, dostaneme, podívejme se na to, 40 děleno 30 neboli čtyři třetiny, čtyři třetiny sinu 40 stupňů se rovná sinu theta, se rovná sinu theta. Nyní chceme vyřešit úhel theta, vezmeme si tedy inverzní sinus obou stran. Takže inverzní sinus 4 děleno 3 sinus 40 stupňů. Bude rovno theta. Takže dostaneme tady tento úhel. A tento a ještě tento údaj použijeme, abychom zjistili velikost úhlu, který potřebujeme. Takže vytáhneme kalkulačky a počítáme. Jen si ověřte, že máte kalkulačku nastavenou na stupně. Což je důležité. Dobře, takže si vezmeme inverzní sinus ze čtyř třetin krát sinus 40 stupňů, z čehož dostaneme, teď by se hodil pořádný virbl, 58, tedy po zaokrouhlení, zůstaňme alespoň trochu přesní. Zhruba 58,99 stupňů. Toto se rovná přibližně 58,99 stupňů. Takže, pokud to je těchto 58,99 stupňů, jaký bude tento? Tento bude 180 minus velikost tohoto úhlu, minus velikost tohoto. Takže si to vypočítejme. Bude to 180 minus tento úhel, tedy minus 40, minus tento úhel, který jsme zrovna vypočítali. Vlastně si jen vezmu druhý výsledek. Dostanu tak aspoň nějakou přesnost, což nám nakonec dá 81,01 stupňů. Pokud zaokrouhlím na nejbližší, řekněme, že chci zaokrouhlit na nejbližší setiny stupně, potom bych dostal 81,01 stupňů. Takže zde máme přibližně 81,01 stupně a jsme hotovi.
video