Úvod do goniometrických funkcí
Přihlásit se
Úvod do goniometrických funkcí (15/15) · 6:00

Příklad 3: Kosinová věta Pomocí kosinové věty zjistíme, jak daleko jsou od sebe dvě hvězdy.

Navazuje na Pythagorova věta.
Artemis chce zjistit šířku Orionova pásu, což je seskupení hvězd v souhvězdí Orion. Již dříve zjistila vzdálenost z jejího domu k Alnitak, 736 světelných let, a k Mintaka, 915 světelných let, což jsou konce Orionova pásu. Zná úhel mezi těmito hvězdami na obloze, jsou to 3 stupně. Jaká je šířka Orionova pásu? To je vzdálenost mezi Alnitak a Mintaka. A odpověď chtějí v světelných rocích. Nakresleme si malý náčrtek, abychom si ujasnili, o co jde. Vlastně, než to uděláme, doporučuji, abyste zastavili video a zkusili to sami. Nakresleme náčrtek. Dobře, řekněme, že tohle je dům Artemis. Řekněme A jako Artemis. A pak... Dobře, řekněme H... Tohle je domov (z ang. Home) Tady je domov. A pak máme 2 hvězdy. Takže se dívá na noční oblohu a vidí tyto hvězdy, Alnitak, která je vzdálená 736 světelných let, a evidentně to nebudu kreslit v měřítku. To je Alnitak. A Mintaka. A řekněme, že tady je Mintaka. Mintaka. A víme několik věcí. Víme, že vzdálenost mezi jejím domem a Alnitak je 736 světelných let. Takže tato vzdálenost, tahle vzdálenost, všechno je to ve světelných letech, je to 736. A vzdálenost mezi jejím domem a Mintaka je 915 světelných let. Takže by to trvalo 915 let dostat se z jejího domu k Mintaka, nebo z Mintaky k jejímu domu. Tohle je tedy 915 světelných let. A chceme zjistit šířku Orionova pásu, což je vzdálenost mezi Alnitak a Mintaka. Potřebujeme zjistit tuto vzdálenost. A další údaj, který máme zadaný, je tento úhel. Máme zadaný tento úhel. Říkají, že úhel mezi těmito hvězdami na obloze je 3 stupně. Toto jsou 3 stupně. Jak tedy zjistíme vzdálenost mezi Alnitak a Mintaka? Řekněme, že toto se rovná x. Tohle je rovno x. Jak to uděláme? No, když známe dvě strany a úhel mezi nimi, můžeme použít kosinovou větu, abychom zjistili třetí stranu. Tedy kosinová věta, použijme ji. Kosinová věta říká že x na druhou se rovná součtu druhých mocnin druhých dvou stran. Bude se tedy rovnat 736 na druhou, plus 915 na druhou, mínus 2 krát 736 krát 915, krát cosinus tohoto úhlu. Krát kosinus 3 stupňů. Ještě jednou, snažíme se najít délku strany naproti úhlu o velikosti 3°. Známe druhé dvě strany, takže kosinová věta, v podstatě... Omlouvám se, musel jsem si odkašlat, měl jsem nějaké ořechy a vyschlo mi v krku. Kde jsem skončil? Oh, ano, říkal jsem, pokud známe úhel a dvě strany, které úhel svírají, můžeme zjistit délku protější strany pomocí kosinové věty. Začíná to velmi podobně jako Pythagorova věta, ale potom to změníme, protože nemáme pravý úhel. A ta úprava.... Máme 736 na druhou plus 915 na druhou, mínus 2 krát součin těchto stran, krát kosinus tohoto úhlu. Jinak bychom mohli říct, popřemýšlejte o tom, x, zapíšu to, x se rovná odmocnině z toho všeho. Mohu to jen zkopírovat a vložit. Kopírovat a vložit. x se bude rovnat druhé odmocnině z tohoto. Vezměme kalkulačku a počítejme. Ještě ověřím, jestli počítám ve stupních. Ano, je to ve stupních. Opusťme to. Chci spočítat druhou odmocninu z 736 na druhou, plus 915 na druhou, mínus 2 krát 736, krát 915, krát kosinus 3 stupňů. A teď si zasloužíme virbl. x je ..., pokud to zaokrouhlíme... Co vlastně po nás chtějí? Zaokrouhlit na nejbližší světelné roky. Takže nejbližší světelný rok je 184 světelných let. Takže x je přibližně 184 světelných let. Světlu by trvalo 184 let aby se dostalo z Mintaka k Alnitak. Doufejme, že vám to ukázalo, pokud se někdy budete zabývat astronomií, že kosinová věta, sinová věta, vlastně celá trigonometrie, je velice užitečná.
video