Úvod do goniometrických funkcí
Přihlásit se
Úvod do goniometrických funkcí (2/15) · 12:12

Úvod do goniometrie 2 Budeme pokračovat v odvozování hodnot sin, cos a tan pro úhly v pravoúhlých trojúhelnících, tentokrát i v kombinaci s Pythagorovou větou.

Navazuje na Pythagorova věta.
Zkusme více příkladů pro lepší pochopení trigonometrických funkcí. Takže, zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků. a chci aby bylo jasné, že základní trigonometrické funkce platí jen pro pravoúhlé trojúhelníky. Takže pokud je budete chtít využít u obecných trojúhelníků, uvidíte, že v nich stejně budete muset najít pravoúhlé trojúhelníky, ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé. Řekněme, že mám trojúhelník, ve kterém tato strana je dlouhá 7, a délka této strany nechť je 4. A nyní zkusme určit délku přepony. Takže, přeponu si označíme "h". h na druhou se rovná 7 na druhou plus 4 na druhou. Říká nám to Pythagorova věta, že délka přepony na druhou se rovná součtu druhých mocnin obou odvěsen. h na druhou se rovná 7 na druhou plus 4 na druhou. Takže toto se rovná 49 plus 16, 49 plus 10 je 59 plus 6 je 65. takže h na druhou je 65, ..napíši to jiným odstínem žluté.. takže h na druhou se rovná 65. Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65 takže h se rovná, obě strany odmocníme, druhá odmocnina ze 65. Toto už nemůžeme dále zjednodušit. Tohle je totéž jako 13 krát 5, ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit. Takže toto se rovná druhé odmocnině z 65. A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu. Označme si tento úhel Théta. Vždy, když používáte trigonometrii můžete si poznamenat.. alespoň já to tak dělám.. soh cah toa Matně si vzpomínám na svého učitele trigonometrie. Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím, znáte to? Jedna indická princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco... Ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku takže použijeme "soh cah toa". Zkusme například určit kosinus. Chceme zjistit kosinus našeho úhlu. řeknete si "soh cah toa". "Cah" nám říká jak spočítat kosinus, říká, že kosinus je přilehlá proti přeponě. (pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona) Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě. Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá? Víme, že přepona přepona je tato strana zde. Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a není to přepona, je tato dlouhá 4. Takže hledaná přilehlá strana doslova přiléhá k danému úhlu, je to jedna ze stran, které určují úhel takže to je 4 ku přeponě. Již víme, že přepona je odmocnina z 65. takže je to 4 lomeno odmocninou ze 65. Občas lidé rádi zjednodušují zlomky tak, aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli jako třeba odmocninu z 65. Pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo, můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku odmocninou ze 65. To samozřejmě neovlivní výsledek, protože násobíme něčím, co vydělíme samo sebou, takže vlastně násobíme číslem jedna. To nezmění výsledek, ale alespoň už nemáme iracionální číslo ve jmenovateli. Takže čitatel bude 4 krát odmocnina z 65, a jmenovatel, odmocnina z 65 krát odmocnina z 65, to je 65. Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně. Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce nebo alespoň ty základní. Později se naučíme, že jich existuje víc, ale všechny jsou odvozené z těchto základních. Podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa". "soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě. (pozn. Opposite - protilehlá) Sinus se rovná protilehlé ku přeponě. Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu? Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm. To je zde, toto je protilehlá strana a k tomu přepona. Je to protilehlá ku přeponě. Přepona je odmocnina z 65. Druhá odmocnina z 65. A opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit, mohli bychom vynásobit odmocninou z 65 ku odmocnině z 65. V čitateli dostaneme 7 krát odmocnina z 65 a ve jmenovateli bude opět 65. Nyní zkusme tangens Spočítáme tangens. Takže pokud se zeptám na tangens tangens úhlu théta opět použijeme pomůcku "soh cah toa". toa nám říká, jak určit tangens. Říká nám to, že tangens se rovná protilehlé ku přilehlé. Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli. Je to 7. Úhel se otevírá ke straně dlouhé 7. Protilehlá je 7. Takže je to 7 k té straně, která je přilehlá. Tato strana, čtyřka, je přilehlá. Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá 4 takže to je 7 ku 4 a jsme hotoví. Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další. Udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali, "co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější. Řekněme, že... nakreslím další pravoúhlý trojúhelník, zde je další pravoúhlý trojúhelník. Vše, s čím pracujeme, jsou pravoúhlé trojúhelníky. Řekněme, že přepona má délku 4, dejme tomu, že tato strana zde má délku 2, a dejme tomu, že tato délka zde bude 2 krát odmocnina ze 3. Můžeme ověřit, že to funguje. Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máme 2 krát odmocnina ze 3 na druhou plus 2 na druhou, to se rovná kolik? To jsou 2. Zde bude 4 krát 3. 4 krát 3 plus 4, to se rovná 12 plus 4, což je 16 a 16 je skutečně 4 na druhou. Takže se to rovná 4 na druhou, Takže Pythagorova věta platí Pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90 něco z toho, co jste se naučili v geometrii, poznáte, že toto je právě takový trojúhelník. Zde je pravý úhel. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. Tento úhel má třicet stupňů a pak tento úhel tady nahoře je šedesát stupňů. Je to třicet, šedesát a devadesát, protože strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana, kterou není přepona. Toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků, i když jsem to právě udělal. Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly Takže, kdyby se vás někdo zeptal, kolik je sinus ze 30 stupňů. 30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte pravoúhlý trojúhelník. V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus 30 stupňů, a tento úhel je 30 stupňů, použiji tento pravoúhlý trojúhelník, a pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa". Napišme to. soh, cah, toa. soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě. Sinus 30 stupňů je protilehlá strana, to je protilehlá strana, která je 2 ku přeponě. Přepona je 4. Jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina. Sinus třiceti stupňů se tedy vždy rovná jedné polovině. Jak je na tom kosinus? Kolik je kosinus třiceti stupňů? Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa". cah nám říká, co si počít s kosinem. Kosinus je přilehlá ku přeponě. Takže při pohledu na třicetistupňový úhel, přilehlá je tato strana. Hned vedle úhlu. Není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě. Takže jsou to dvě odmocniny ze 3 přilehlá ku přeponě, tedy ku čtyřem. nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma, je to odmocnina ze 3 ku 2. Nakonec zkusme tangens. Tangens třiceti stupňů, připomeneme si "soh cah toa". soh cah toa toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé. Vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů. Protilehlá je 2, protilehlá je 2 a přilehlá 2 odmocniny ze 3. Je to hned vedle. Přilehlá. Přilehlá znamená, že je hned vedle. Takže dvě druhé odmocniny ze 3 To se rovná.. dvojky se vykrátí 1 lomeno odmocnina ze 3 nebo můžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze 3. Takže odmocnina ze 3 lomeno odmocnina ze 3. Čitatel se rovná odmocnině ze 3 a jmenovatel je 3. Takže jsme dostali odmocninu ze 3 lomeno 3. Prima. Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení poměrů pro šedesát stupňů, jelikož jsme to již nakreslili. Takže kolik je sinus šedesáti stupňů? Doufám, že už to začínáte chápat. Sinus je protilehlá ku přeponě. Která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů? Otevírá se proti dvěma odmocninám ze 3, tedy dvě odmocniny ze 3 je strana protilehlá, a z úhlu šedesáti stupňů jde to protilehlá ku přeponě takže je to protilehlá ku přeponě jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno 4. 4 je přepona. Toto zjednodušíme na odmocninu ze 3 lomeno 2. Kolik je kosinus 60 stupňů? Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě. Přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů. Takže to je to 2 ku přeponě, a ta je 4. Takže se to rovná jedné polovině a pak, nakonec, kolik je tangens? Kolik je tangens 60 stupňů? OK tangens je protilehlá ku přilehlé protilehlá k úhlu 60 stupňů je 2 odmocniny ze 3 2 druhé odmocniny ze 3 a přilehlá je 2. Přilehlá k úhlu 60 stupňů je 2. Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze 3 ku 2 to se rovná jedné odmocnině ze 3. A ještě se podívejme, jak to spolu souvisí. Sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus 60 stupňů. Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů. Takže tyto dva jsou vzájemně inverzní a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem začne to celé dávat smysl. V dalším videu toto budeme dále rozšiřovat, abyste získali větší praxi.
video