Analytická geometrie
Přihlásit se
Analytická geometrie (1/9) · 10:21

Leží bod na dané kružnici? Příklad, ve kterém máme zadané dvě soustředné kružnice pomocí středu a jednoho bodu ležícího na kružnici. Máme zjistit, které z nabízených bodů leží na jedné nebo druhé kružnici.

Navazuje na Čtyřúhelníky.
Bod A leží na −5,5. Takže tady je −5. Tady je 1, 2, 3, 4, 5. Tady je 5. Takže tady někde bude bod A. Takže tady je bod A na −5,5. Je to střed kružnice A... Ještě ji nebudu kreslit, protože nevím její průměr. Bod B je na... Tady ho podtrhnu vhodnou barvou, bod B leží na 3,1. Takže 1, 2, 3,1. Takže tady je bod B, jako střed kružnice B. Bod P leží na bodu 0,0, takže leží přesně v počátku souřadnic. Leží na kružnicích A a B. To je důležitá informace, protože to nám říká, že když bod leží na obou kružnicích, to znamená, že poloměr B leží ve vzdálenosti od bodu B od středu. Poloměr kružnice A leží ve vzdálenosti poloměru od středu, což je bod A. Takže pojďme zjistit, kolik přesně jsou ty poloměry. Takže si můžeme představit... Nakreslím tady poloměr nebo poloměr kružnice A... Teď víme, že když na ní leží bod P, že by to mohl být poloměr kružnice A (rA). Můžete použít vzoreček pro výpočet vzdálenosti, ale uvidíme, že je odvozen přímo z Pythagorovy věty. Vzoreček pro vzdálenost nám tedy říká, že tento poloměr je vzdálenost mezi těmito dvěma body. Tedy poloměr nebo-li vzdálenost mezi dvěma body (rA) na druhou se bude rovnat změně hodnot na ose x mezi body A a P. Změna v hodnotách x. Můžeme to napsat jako (−5 minus 0) na druhou, (−5 minus 0) na druhou. To je naše změna na ose x (−5 minus 0) na 2 plus změna na ose y, (5 minus 0) na druhou, což nám dává vzdálenost mezi těmito dvěma body (rA), což je poloměr A na druhou se rovná −5 na druhou plus 5 na druhou. Nebo můžeme říct, že poloměr (r) se rovná odmocnině z 50--tohle je 25, tohle je 25-- 50 můžeme napsat jako 25 krát 2. Což se rovná odmocnině 25 krát 2, což je 5 krát odmocnina ze 2. Takže tato vzdálenost je 5 krát odmocnina ze 2. Je to skoro stejná věc jako Pythagorova věta Proč? Kdybychom tady sestrojili pravoúhlý trojúhelník, podívejme se na tuto vzdálenost. Ta vzdálenost by byla absolutní hodnota −5 minus 0. Nebo byste mohli říct, 0 minus −5. Ta vzdálenost tady je 5. Tato vzdálenost je vzdálenost mezi 0 a 5. na ose y. To je 5. Pythagorova věta nám říká, že 5 na druhou, což je 25, plus 5 na druhou, další 25... je vaše přepona na druhou. A to je přesně, co máme tady. Teď si můžete říkat, počkat, tahle věc tady měla −5 na druhou, ale tady máme +5. Můžeme to ale udělat, protože když umocňujeme, záporné znaménko zmizí. Vzoreček na výpočet vzdálenosti můžete napsat takto, vezmete absolutní hodnotu. A pak vyjde najevo, že to opravdu je jen Pythagorova věta. To by pak bylo 5 na druhou plus 5 na druhou, 5 na druhou plus 5 na druhou. Důvod, proč toto nemusíte dělat je, že když umocňujete, na znaménku nezáleží. Vždy se stane kladným. Nicméně, už jsme přišli na tento poloměr. Pojďme tedy nalézt hodnotu poloměru kružnice B. Úplně stejný postup. Poloměr kružnice B na druhou se rovná naší změně na ose x. Můžeme to napsat jako 3 minus 0, nebo 0 minus 3. Ale my to napíšeme jako 3 minus 0. (3 minus 0) na druhou plus (1 minus 0 ) na druhou. Nebo poloměr nebo tedy vzdálenost mezi 2 body se rovná odmocnině to je 3 na druhou plus 1 na druhou. To je 9 plus 1. To je odmocnina z 10. Poloměr kružnice B je odmocnina z 10. Ptají se nás, který z následujících bodů leží na kružnici A, B, nebo na obou? Teď se jen musíme podívat na ty body. Když je tento bod odmocninou z 10 od bodu B, leží na kružnici. Je vzdálený jeden poloměr. Kružnice je soubor všech bodů, jejichž vzdálenost od středu je rovna poloměru. Když je bod vzdálen 5 odmocnin ze 2 od tohoto bodu pak leží na kružnici A. Když to tak není, tak tam neleží, nebo by tam mohly ležet oba. Takže zkusme to po jednom. Bod C leží na 4, –2. Napíšu to novou barvou. Takže bod C-- označím ho oranžovou--bod C leží na 1, 2, 3, 4, –2. Bod C je právě tam. Teď to vypadá, že je velmi blízko. Tohle je nakresleno rukou, takže to není perfektní. Bod C leží tady. Vypadá, že je blízko. Ale pojďme si to ověřit. Vzdálenost mezi bodem C a bodem D, tedy vzdálenost (d) na druhou, se bude rovnat změně na ose x. Takže bychom mohli říct, 4 minus, zkoušíme... C a B, je (4 minus 3) na druhou plus (–2 minus 1) na druhou, což se rovná, to je 1 na druhou plus –3 na druhou. Takže naše vzdálenost (d) na druhou se rovná 10. Nebo-li naše vzdálenost (d) se rovná odmocnině z 10. Což je taky ta vzdálenost tady, odmocnina z 10. Takže leží na kružnici. Kdybychom chtěli nakreslit kružnici B, vypadalo by to asi takhle. A kreslím to rukou, takže to není perfektní. Ale vypadalo by to asi... Nakreslím jen část... vypadá to asi jako toto. Přesně ve vzdálenosti poloměru. Napíšu to, leží to na kružnici B. Teď se podíváme na tento bod. Bod 5,3. Udělám to růžovou. Takže 1, 2, 3, 4, 5,3. Vypadá, že je to blízko, ale pojďme si to přece jenom ověřit. Naše vzdálenost (d) se rovná... Napíšu to takhle. Naše vzdálenost d bude změna na ose x na druhou, (5 minus 3) na druhou plus (3 minus 1) na druhou, změna na ose y. Naše vzdálenost (d) se bude rovnat… Nechci přeskočit moc kroků. Tohle je 2 na druhou, což je 4, plus 2 na druhou, což je další 4. Naše vzdálenost bude rovna odmocnině z 8, což je stejná věc jako odmocnina ze (2 krát 4), což je stejná věc jako 2 krát odmocnina ze 2. Odmocnina ze 4 je 2. A pak tam máte samozřejmě jen 2, co zbyla v odmocnině. Takže to je jiná vzdálenost, než odmocnina z 10. Takže tento bod tedy určitě neleží na kružnici B. A když to teď odhadnu od oka, můžete vidět, že nebude ani na kružnici A. Ta vzdálenost, od oka, je mnohem dál, než 5 krát odmocnina ze 2. A to taky platí pro bod C. Bod C leží dál než 5 krát odmocnina ze 2. Můžete se na to podívat pouhým okem. Jsou mnohem dál, než vzdálenost poloměru. Takže ten bod tady to taky není. Neleží na žádné kružnici. Teď konečně máme ten bod –2, 8. Pojďme najít... Dochází mi barvičky. Mohl bych znovu použít žlutou. –2, 8, takže to je –2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. To je přesně tady. To je bod E. Od oka, tato délka, je určitě moc daleko. Když se na to podíváme od oka, je to očividně více než poloměr od B. Takže to nebude na kružnici B. A taky, když se na to podíváme ve vztahu k bodu A, vypadá to, že je to mnohem blíž k bodu A. Nevypadá to ani trochu blíž, než je bod P. Takže to vypadá, že tohle můžete vyřadit, takže to nebude ani na jedné z kružnic. Ale můžeme si to ověřit sami, pokud chceme. Můžeme najít vzdálenost mezi těmito dvěma body. Naše vzdálenost (d) na druhou bude naše změna na ose y. (–2 minus –5) na druhou plus naše změna na ose y. Takže je to (8 minus 5) na druhou. Naše vzdálenost (d) na druhou se bude rovnat (–2 minus –5). To je (–2 plus 5). Takže to bude 3 na druhou plus 3 na druhou. A to vidíte přímo tady, Pythagorova věta. Ta vzdálenost tady je 3. Ta vzdálenost tady, to je ta vaše změna na ose x, což je 3. Změna na ose y je 3. 3 na druhou plus 3 na druhou bude vzdálenost na druhou, přepona na druhou. Naše vzdálenost (d) na druhou bude-- nebo bych mohl říct, ta vzdálenost... Přeskočím pár kroků. ...se rovná odmocnině... Můžeme to napsat jako 9 krát 2 nebo vzdálenost (d) rovná se 3 krát odmocnině ze 2. Poloměr A se rovná 5 krát odmocnina ze 2, ne 3 krát odmocnina ze 2. Takže bude uvnitř kružnice. Když chceme nakreslit kružnici A, bude vypadat asi takhle. Bod E je uvnitř. Bod D a bod C leží mimo kružnici A. Jediný bod, který leží na kterékoli z kružnic je bod C.
video