Analytická geometrie
Přihlásit se
Analytická geometrie (4/9) · 5:52

Které poskoky můžeme zneškodnit? Představte si, že jste kouzelník a chcete zneškodnit černokněžníka a jeho poskoky. V soustavě souřadnic máme zadanou naší i jejich polohu. Také víme, že dosah našich kouzel je jen 6 jednotek.

Navazuje na Čtyřúhelníky.
Alyssa hraje videohru. Její postava se vydala vyhnat zlého černokněžníka a jeho poskoky z království. Její postava je kouzelník, jehož kouzla mají dosah 6 metrů. Umístění objektů ve hře je v počítači uloženo ve formě souřadnic x a y. Takže (5, 4) je poloha Alyssina kouzelníka, (8, 7) je poloha poskoka A, (2, −1) je poloha poskoka B, (9, 0) je poloha poskoka C. Co po vás chci je, abyste si pozastavili tohle video a zamysleli se: Pokud její magie má dosah 6 metrů, které z těchto poskoků může skutečně zasáhnout? Předpokládám, že jste to zkusili. K zjištění, kteří poskoci jsou v dosahu, hledáme, které body jsou vzdáleny nejvýše 6 jednotek. Předpokládáme, že naše souřadnice tady jsou v metrech. Které z těchto bodů jsou do 6 jednotek od (5, 4)? K tomu nám stačí spočítat vzdálenost mezi těmito body, těmito body a těmito body a zkontrolovat, jestli jsou větší nebo menší než 6 metrů. A jak spočítáme vzdálenost mezi dvěma body? Pokud si vezmeme bod tady - to bude (x1, y1) - a pak jiný tady - (x2, y2) - a chceme spočítat tuhle vzdálenost, pak potřebný vzoreček dostaneme z Pythagorovy věty. Pythagorova věta nám říká, že pokud tahle strana je náš rozdíl na ose y... A zaznačíme to radši jako abolutní hodnotu změny ‚y‘... A řekněme, že tahle strana tady je absolutní hodnota naší změny ‚x‘, pak nám Pythagorova říká, že tahle strana, přepona, bude odmocnina ze součtu druhých mocnin těch dvou stran: Tedy rozdíl ‚x‘ na druhou plus rozdíl ‚y‘ na druhou. Můžete říct: "A co absolutní hodnota?" No, po umocnění to bude kladné tak jako tak. Takže absolutní hodnotu už psát ani nemusím. Takže vlastně jenom potřebuju zjistit - pro každé dva z těchto bodů - jaká je změna v ‚x‘? Jaká je změna v ‚y‘? A pak to umocnit, sečíst, a výsledek odmocnit. Takže například, pokud bych si tohle označil jako P1, tohle bych označil jako P2, tohle možná můžeme označit jako P3... Chci je mít v různých barvách, ať můžete sledovat, co tady dělám. Tohle je P3 a řekněme, že tohle je P4. Pojďme se prvně zaměřit na vzdálenost mezi P1 a P2. Takže tohle bude rovno odmocnině z druhé mocniny rozdílu v "x"... A náš rozdíl v "x" je 3, druhá mocnina je tedy 9... plus druhá mocnina změny "y". Náš rozdíl v "y" je taky 3, a to na druhou je 9. Takže tohle bude odmocnina z 18, což je to samé jako tři odmocniny ze dvou. Je tohle menší než 6? No, třikrát 2 je 6. Odmocnina ze dvou je méně než 2. Je to jedna celá něco. Takže tohle bude méně než 6. Takže P2 je v dosahu. Alissin kouzelník může dostat poskoka A. Na poskoka A svou magií dosáhne. Nyní se podívejme na poskoka B. Vzdálenost mezi P1 a P3 bude rovna odmocnině z... Náš rozdíl v "x" je −3. (−3) na druhou je +9. Náš rozdíl v "y", ze 4 na −1, je −5. To na druhou je 25. Takže 9 plus 25, což je rovno odmocnině z 34. Jenže je to více nebo méně než 6? No, odmocnina z 36 je 6. Takže když tohle je odmocnina nižšího čísla, tak to bude také méně než 6. Takže poskok B je také v dosahu. Zbývá nám poslední bod. Vzdálenost mezi P1 a P4 se bude rovnat odmocnině mocniny našeho rozdílu v 'x'... Rozdíl v 'x' je 4, takže 16... Plus mocnina rozdílu v 'y'. Náš rozdíl v 'y' je −4. Ale když to umocníme, dostaneme také 16. Takže tohle bude odmocnina z 32, což vlastně můžeme nechat jako odmocninu z 32. Odmocnina z 32 je určitě menší, než odmocnina z 36, která je 6. Takže tohle bude také méně než 6. Dosáhne na všechny poskoky. Všichni jsou od ní vzdáleni do 6 jednotek. A teď, který z nich je nejdál? No, pokud bychom tohle napsali... My jsme to zjednodušili, ale mohli jsme to zapsat jako odmocninu z 18. Ta je určitě nejmenší z našich odmocnin z 18, 32 a 34. Takže poskok A je nejblíž. A poskok B, odmocnina z 34, je nejdál.
video