Vzdálenost bodů v soustavě souřadnic – Černokněžník a jeho poskoci

Klára hraje počítačovou hru. Úkolem její postavy je vyhnat z království zlého černokněžníka a jeho poskoky. Její postava je kouzelník, jehož kouzla mají dosah šest metrů. Pozice objektů ve hře jsou uloženy pomocí souřadnic x a y. A teď tu máme pozice jednotlivých lidí. 5 a 4 je pozice Klářina kouzelníka, 8 a 7 je pozice poskoka A, 2 a -1 je pozice poskoka B, 9 a 0 je pozice poskoka C. A ptají se nás, které poskoky se Klářinu kouzelníkovi podaří zasáhnout. Už jsme si tu vyznačili, že kouzla toho kouzelníka od Kláry v té hře mají dosah šesti metrů. Tohle to celé tedy bude pravděpodobně v metrech. A my známe pozici Klářina kouzelníka i všech těch poskoků. A jak tedy zjistíme, které ty poskoky ona bude schopna zasáhnout těmi kouzly. No, zjistíme, kteří z nich jsou tedy v dosahu těch šesti metrů. Jinými slovy, kteří jsou vzdáleni maximálně do šesti nějakých jednotek, tady metrů, od toho Klářina kouzelníka. Takže jednoduše zjistíme jednotlivé vzdálenost kouzelníka od poskoka A, B a C, tedy vzdálenosti jednotlivých bodů, které tady máme dané souřadnicemi x a y. A zjistíme, které vzdálenosti jsou menší než 6. Vzdálenost bodů, to je jednoduché, to už umíme dávno spočítat, jenom si to tu můžeme připomenout. Máme nějaký bod, který má souřadnice x1 a y1. Pak máme nějaký druhý bod, který má souřadnice x2 a y2. A my chceme spočítat jejich vzdálenost. A my už dávno víme z předešlých videí, že to je v podstatě jenom použití Pythagorovy věty, kdy si tady představíme pravoúhlý trojúhelník. A když máme souřadnice těch dvou bodů, tak vlastně známe délky odvěsen toho pravoúhlého trojúhelníku. Tady to bude vlastně změna x-ových souřadnic, jdu od x1 do x2. Takže tady to bude změna x, a dáme to do absolutní hodnoty, neboť délka nějaké úsečky musí být vždy nezáporná. A tady to bude změna y-ových souřadnic, změna podél osy y, změna y v absolutní hodnotě. Máme-li délku obou odvěsen, není problém spočítat přeponu pravoúhlého trojúhelníku. To bude odmocnina součtu druhých mocnin délek těch odvěsen a tedy změna x, to celé na druhou, plus změna y, to celé na druhou, tady absolutní hodnoty být nemusí, protože cokoli na druhu bude vždy nezáporné. Takže já si vlastně vezmu dva ty body, spočítám si tedy změnu x a změnu y mezi těmito dvěma body, použiji jejich druhé mocniny, které sečtu, to celé odmocním a dostanu vzdálenost dvou bodů. Pojďme si ty body nějak pojmenovat, ty pozice ve hře. Takže Klářin kouzelník bude K a souřadnice těch poskoků, tak to budou jednoduše A, B a C. Vzdálenost kouzelníka od poskoka A budeme tedy počítat jako vzdálenost bodů K a A. Takže ta, jak jsme si řekli, bude to odmocnina ze změny podél osy x, takže 8 minus 5, to celé na druhou, plus 7 minus 4, to celé na druhou. Vidíme, že jsme se tady posunuli o 3 a tady také o 3. Tady nám to odpovídá, protože 8 minus pět, to je tři, na druhou je 9, 7 minus 4, to je 3, na druhou je také 9, takže to je odmocnina z 9 plus 9. Můžeme si napsat odmocnina z osmnácti, ale když bychom to chtěli částečně odmocnit, tak se nám bude spíš hodit odmocnina z 2 krát 9. Tak devítku odmocníme a zbudou nám tři odmocniny ze dvou, takže to je vzdálenost Klářina kouzelníka od poskoka A. Je tam vzdálenost menší nebo větší než 6? 6 je 3 krát 2. A tohle je 3 krát odmocnina ze dvou a odmocnina ze dvou je rozhodně menší než 2. Takže toto celé bude menší než 6, tudíž poskoka A Klára jednoduše svým kouzlem zasáhne. Tak. Co poskok B? Co vzdálenost bodu K a B? Úplně obdobným způsobem, změna x-ových souřadnic. 2 minus 5, to celé na druhou plus minus jedna minus 4, to celé na druhou. Tady dostaneme minus 3 na druhou, to je 9, plus minus jedna minus čtyři je minus pět na druhou, to je 25, a to je tedy odmocnina z třiceti čtyř. Zase, je to menší nebo větší než 6? No, my víme, že 6 je vlastně odmocnina ze třiceti šesti, takže odmocnina ze třiceti čtyř je rozhodně menší než odmocnina ze třiceti šesti. Takže tedy menší než 6. Takže i poskoka B se Kláře podaří zasáhnout, jelikož vzdálenost mezi těmi dvěma body je menší než 6. Poslední, poskok C, tedy vzdálenost bodů K a C. Už opět zase obdobně 9 minus 5, to celé na druhou plus 0 minus čtyři to celé na druhou. Pořád děláme jedno a to samé. 9 minus 5 je 4, na druhu je 16, plus 0 minus 4, to je minus čtyři, na druhou, to je také 16, takže to je odmocnina z třiceti dvou, což vidíme, že je rozhodně menší číslo ještě než 34. A když už 34 je menší než 6, tak logicky i 32 bude menší než 6. Takže i poskoka C se Kláře podaří zasáhnout. Klářinu kouzelníkovi se podaří zasáhnout těmi kouzly všechny tři ty poskoky A, B i C. Jelikož všichni se nacházejí v dosahu šesti metrů od toho Klářina kouzelníka. Kdybychom se chtěli ještě podívat, který z nich je nejdál a nejblíž, vidíme, že nejblíže je rozhodně poskok A, odmocnina z osmnácti a nejdál je poskok B, odmocnina ze třiceti čtyř. To ale není důležité. Důležité je, že se tedy Kláře podaří zasáhnout všechny tři poskoky.