Analytická geometrie
Přihlásit se
Analytická geometrie (6/9) · 5:38

Dělení úsečky v poměru Máme zadanou úsečku a na té leží bod. Víme také, že daný bod rozděluje tuto úsečku na určité části. Naším úkolem je zjistit souřadnice tohoto bodu.

Navazuje na Čtyřúhelníky.
A, B a C jsou kolineární a B je mezi A a C. Poměr AB ku AC je 2 ku 5. Jestliže A má souřadnice (–6,9) a B má souřadnice (–2,3), jaké jsou souřadnice bodu C? A nabádám Vás, abyste teď video zastavili a vyzkoušeli si to sami. Zkusme si to načrtnout. Takže A má souřadnice (–6,9). (–6,9). B je méně záporné ve vodorovném směru, ale je níže ve svislém směru. Takže bychom B mohli dát sem. B je v bodu (–2,3). A bod C bude kolineární. Takže půjdeme po stejné přímce. Nechte mě tu přímku nakreslit hned teď. Takže bude kolineární a oni nám říkají, že poměr AB ku AC je 2 ku 5. Takže B bude ve 2/5 cesty. Takže řekněme, že C je... Jen mi dejte chvilku to odhadnout. Dejme C sem. A souřadnice bodu C neznáme. Přemýšlejme o tom způsobem, že to rozložíme na vodorovnou změnu v souřadnici a svislou změnu v souřadnici a aplikujeme stejný poměr. Kupříkladu, jaká je vodorovná změna v souřadnicích z bodu A do bodu B? No, pojďme si to nakreslit. Z bodu A do B, takže tohle je x-ová souřadnice bodu A, je to –6. X-ová souřadnice bodu B je v bodu –2. Takže je to tato změna právě tady. Je to ta vodorovná změna, o kterou se zajímáme. Teď, co to je? No, když začnete na –6 a jdete na –2, zvedli jste se o 4. Další způsob uvažování je, že –2 minus –6 je to samé, co –2 plus 6, což bude 4. Takže poměr mezi touto změnou a změnou v x-ové souřadnici mezi body A a C bude 2 ku 5. Nazveme tuto změnu, tuto celou změnu, nazveme ji x. Takže můžeme říct, že poměr mezi 4 a x je roven… Všimněte si, že to je vodorovná změna z bodu A do B, když se podíváte na vodorovnou osu. Takže tento poměr, který je 4, k vodorovné změně mezi body A a C, bude muset být ten samý poměr. Takže bude to 2/5. Teď, abychom vyřešili x, zábavná věc by mohla být vzít převrácenou hodnotu obou stran. Takže x/4 je rovno 5/2. Můžeme obě strany vynásobit 4 a zůstane nám jen x je rovno 5 krát 4 děleno 2, což je 10. Takže změna v x z bodu A do bodu C bude 10. Takže co nám to říká o x-ové souřadnici bodu C? Můžeme začít s x-ovou souřadnicí bodu A, která je –6, přidáme k ní 10, –6 plus 10 je 4. Máme x-ovou souřadnici, teď musíme jen udělat tu samou věc pro y. Takže, jaká je změna v y z bodu A do B? Z bodu A do B, jaká je změna v y? Tady, jdeme z 9 do 3, šli jsme dolů o 6. Další způsob, jak to říct je, že 3 minus 9 je –6. Abyste našli změnu, představte si, že berete jen konečný bod a odečítáte od něj počáteční bod. –2 minus 6. Ne, pardon. –2 minus –6 bylo kladných 4. 3 minus 9 je –6. Stačí se jen podívat. Šli jsme dolů o 6, takže můžeme sem zapsat –6. Naše změna v y, budeme muset mít ten samý poměr. Takže naše změna v y mezi body A a C, nazveme to prostě jenom y. Takže naše změna v y je... tohle je naše změna v y. A budeme muset mít ty samé poměry. Takže mohli bychom napsat, že poměr mezi změnou v y z bodu A do B, která je –6, k poměru mezi naší změnou v y z bodu A do C, –6 ku y, bude ještě jednou rovno 2 ku 5. Ještě jednou, vezmeme převrácenou hodnotu obou stran, y děleno –6 je rovno 5 děleno 2, vynásobíme obě strany –6, a zůstává nám, že y se rovná 5 krát –6, což je –30, děleno 2, což je –15. Takže naše změna v y, nebo naše změna ve svislé ose, kterou v tomto případě nazýváme y, je –15. Takže tady, pokud naše hodnota y je 9 a pokud bychom od toho odečetli 15, kam nás to dostane? No 9 minus 15 nás dostane na 6. 9 minus 15 se rovná 6 Takže souřadnice bodu C jsou-- aha, promiňte, 9 minus 15 se rovná –6. Skoro jsem se dopustil ledabylé chyby. 9 minus 15 je tedy –6. Zdálo se mi to příliš nízko pro bod na 6. Takže souřadnice bodu C jsou (4,–6).
video