Dělení úsečky v poměru

Body A, B a C leží na stejné přímce a bod B leží mezi A a C. Poměr AB ku AC je dvě ku pěti. Bod A má souřadnice minus 6 a 9. A bod B minus 2 a 3. Jaké souřadnice má bod C? Video si zastavte a zkuste si to sami. My teď na to půjdeme společně a ukážeme si to trošku graficky. Abychom si to mohli představit. Máme nějaký bod A, který má souřadnice minus 6 a 9. A potom máme nějaký bod B, který má souřadnice minus 2 a 3. Minus 2, to je od bodu A směrem doprava a 3, to je směrem dolů, takže to bude někde třeba tady. Tady bude bod B se souřadnicemi minus 2 a 3. A my máme ještě najít souřadnice bodu C. Ty body všechny leží na jedné přímce, takže tady bude nějaká přímka a ještě víme, že poměr AB ku AC, tedy až k tomu, A až k C, je dvě ku pěti. Takže to B leží ve dvou pětinách té celkové vzdálenosti AC. Takže dvě pětiny a tady mají být tři pětiny, ano, tak ten bod C by mohl ležet někde zhruba tady. Tady je bod C, jehož souřadnice máme vypočítat. Takže jak bychom to mohli udělat? Opět a zase využijeme jako v předchozích příkladech té změny X a změny Y, změny ve vodorovném a svislém směru. A pomocí určitých informací, které z toho získáme, dopočítáme ten bod C. Takže mezi body A a B, jaká je tam změna ve vodorovném směru nebo změna souřadnic X? Jdu od minus šesti do minus dvojky. Tedy už vidím na první pohled, že o 4. Ale chtěla bych si to spočítat jako vždycky, tak je to minus dva minus minus 6, minus 2 plus 6, tedy 4. A potom mám nějakou změnu ve vodorovném směru, změnu souřadnic X od A do C, o té nic nevím, můžu ji pojmenovat třeba X, ale vím o ní určitě aspoň to, že poměr té změny X mezi A a B a poměr té změny mezi A a C musí být ve stejném poměru jako tady máme v zadání, že poměr AB ku AC je dvě ku pěti. To stejné musí platit nejen pro délku těch úseček, ale i pro tu změnu souřadnic X a také Y. Takže můžu napsat, že 4 lomeno X nebo 4 ku X, 4 ku té změně x-ových souřadnic mezi A a C, musí být stejné jako dvě ku pěti nebo dvě lomeno pěti. Mohli bychom to nějak počítat, ale myslím si, že to vidíte tady na první pohled, že dvě pětiny je to samé jako čtyři desetiny, že X je rovno deseti. Pozor, to není x-ová souřadnice bodu C. X je ta celková změna od toho A do C, takže od A se směrem do C u X posuneme o 10.. Takže tady jsme byli u minus šesti. A když přičteme deset, tak najdeme tu souřadnici toho bodu C x-ovou. Takže minus 6 plus 10 je 4. Takže tady x-ová souřadnice bodu C bude 4 a teď obdobně budeme postupovat samozřejmě i u té svislé změny, u změny Y. Úplně stejně. Z bodu A do bodu B, jak se nám změní souřadnice Y? Jdeme z devíti do tří, tedy o šest, ale do minusu. Chtěli bychom-li si to spočítat, tři minus devět, minus šest. A potom máme změnu ve svislém směru, změnu souřadnic Y mezi A a C, té můžeme říkat, třeba Y a opět musí platit to samé, musí být ve stejném poměru jako je tady napsaný v zadání. Tato změna mezi A a B a ta změna mezi A a C musí být v tomto poměru, minus 6 lomeno Y, minus šest ku Y musí být stejné jako dvě ku pěti, jako dvě pětiny. Kdybychom si to teď chtěli spočítat, tak si můžeme vzít převrácenou hodnotu obou dvou stran. Takto. Vynásobit to minus šesti a dostaneme, napíšu to sem, že Y je rovno minus 30 polovin a tedy Y je rovno minus 15. Opět to není souřadnice bodu C. To je ta změna Y mezi bodem A a C. Posouváme se u Y o minus 15 a jdeme tedy z plus devítky o 15 do minusu. Takže to je minus 6. Když se na to podíváme graficky, tak to také sedí. Tady máme X minus 6 minus 2, 4, to by tak odpovídalo, 9, 3 a minus 6. Takže jsme pomocí změny x-ových a y-ových souřadnic a jednoho poměru spočítali souřadnice bodu C.