Kuželosečky
Přihlásit se
Kuželosečky (1/13) · 10:58

Úvod do kuželoseček Co všechno patří do skupiny kuželoseček a odkud se vlastně vzal název "kuželosečky". Odpověď najdete v tomto videu.

Navazuje na Kruhy a kružnice.
Pojďme zjistit, zda se nemůžeme naučit něco o kuželosečkách. Nejdříve ze všeho, co jsou zač? A proč se jim říká kuželosečky? Nejspíše už některé z nich znáte a já je tu sepíšu. Jsou to kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. Tady je ‚p‘. Hyperbola. A tyhle už znáte. Když jsem je poprvé viděl, říkám si, že přece znám kružnici. Vím, co je zač parabola. A trochu přeci vím i o elipsách a hyperbolách. Proč se jim probůh říká kuželosečky? Prostě a jednoduše proto, protože jsou průsečíkem roviny a pláště kužele. Za okamžik vám to nakreslím. Ale ještě předtím by docela dávalo smysl nakreslit si je samotné. Změním si barvy. Kružnice, všichni víme, o co jde. Podívám se, zda mohu použít širší linku pro své kruhy. Kružnice tedy vypadá zhruba takto. Všechny body kružnice jsou od středu stejně vzdálené. A tato vzdálenost ve které leží se nazývá poloměr. Pokud tohle je ‚r‘, a toto je střed, kružnicí jsou potom všechny body, které jsou od středu vzdáleny o ‚r‘. O kružnicích už jsme se učili ve škole dříve, doslova se kolem nich točí svět. Elipsa je, laicky řečeno, zmáčknutá kružnice. Mohla by vypadat třeba takto. Udělám elipsu jinou barvou. Takže elipsa by mohla vypadat takhle. Například tahle. Špatně se kreslí nástrojem který používám, ale taky se dá naklonit. Toto je obecný tvar. A kružnice jsou speciálním typem elipsy. Jsou to elipsy, které nejsou v jednom směru natažené víc než v jiném. Je jaksi perfektně symetrická ve všech směrech. Parabola. Už jste se o ní možná učili v Algebře 2, nebo pokud se zajímáte o kuželosečky. Jenže parabola, oddělím si tady ostatní čarou, parabola vypadá asi takhle, ve tvaru U, klasická parabola. Nebudu se pouštět do rovnic teď hned. I když ano, protože tohle už nejspíš znáte. ‚y‘ rovná se ‚x‘ na druhou. Dále se dá posouvat, proto můžeme mít dokonce parabolu, která vypadá takto. ‚x‘ se rovná ‚y‘ na druhou. Tyto tvary se dají různě otáčet, ale myslím že znáte obecný tvar paraboly. Povíme si více o tom, jak se zanáší do grafu, nebo které jsou důležité body paraboly. A na konec, možná už jste ji viděli, hyperbola. Vypadá skoro jako dvojice parabol, ale ne zcela, protože křivky jsou trošku méně do tvaru U a trochu víc otevřené. Vysvětlím vám, co tím myslím. Takže hyperbola obvykle vypadá takhle. Pokud toto jsou osy, tak tady nakreslím asymptoty. Snad se mi rovnou podaří... To je celkem dobré. To jsou asymptoty. To ještě není sama hyperbola. Ale hyperbola by vypadala nějak takto. Je přímo tady a musí být velmi blízko asymptotě. Přibližuje se blíž a blíž k této modré lince a na této straně také. Graf se nám objeví tady a křivky zase vyskočí zde. Tato fialová by mohla být jedna hyperbola. Nebo by tu mohla být jiná hyperbola, řekli bychom vertikální. Není to úplně přesné, ale vypadala by jako tady ta část pod asymptotou. A tady nad asymptotou. Takže tahle modrá je jedna hyperbola a fialová je zase jiná hyperbola. Takže toto jsou odlišné grafy. Jsem si jistý, že se právě ptáte na to, proč se jim říká kuželosečky? Proč se jim neříká třeba boloidy, nebo nějaké varianty slova kruh? A vlastně, jaký je mezi nimi vztah? Je celkem jasné, že kružnice a elipsy mají cosi společného. Že elipsa je jenom zmáčknutá kružnice. A možná dokonce to vypadá, že paraboly a hyperboly mají něco společného. Tady zase má být ‚p‘. Obě mají v názvu ‚bola‘, a obě mají tvar otevřeného U. Přestože hyperbola má dvě části a více otevřené, navíc různými směry, jsou podobné. Ale jaké je tedy spojení mezi nimi? Proto mají právě v názvu kužel. Podívejme se, zda dokážu nakreslit trojrozměrný kužel. Tohle je kužel. Tady je vršek. Mohl jsem nahoře nakreslit elipsu. Tady to máme. Vlastně nemá vršek. Bude pokračovat do nekonečna tímto směrem. Kreslím jen výřez, aby bylo vidět, že jde o kužel. Tohle by byla spodní strana. Pojďme najít různé průniky roviny s tímto kuželem a uvidíme, zda se nám povede vytvořit různé tvary, o nichž jsme právě mluvili. Pokud máme rovinu, která je přímo... Řekněme, že toto budou osy našeho trojrozměrného kužele, takže tady je osa. Čili když máme rovinu, která je kolmá na osu, schválně jak ji nakreslím v tomto 3D rozhraní, ta rovina by vypadala takhle. Takže se objeví nějaká křivka. Tady je přední část, ta blíže nám, bude mít i zadní část tady. Přibližně tak. A samozřejmě, jsou to nekonečné roviny, takže pokračují všemi směry. Pokud je rovina přesně kolmá na osu kužele, rovina pokračuje tudy. Průnik roviny a tohoto kuželu bude vypadat následovně. Díváme se na to pod úhlem, ale pokud se podíváte přímo shora, jako kdybyste stáli přímo nad ní a koukali na ni shora, nebo kdybych ji mohl převrátit, abychom se mohli podívat přímo shora na tuto rovinu, tak průnikem bude kružnice. Nyní pokud vezmeme rovinu a malinko ji nakloníme, tak aby vznikla následující situace, schválně jestli to zvládnu správně. Máme tady situaci, kdy... Jejda. To vrátím zpět. Upravit. Vrátit. Pokud vypadá takto a zde je zadní strana a já je propojím, tady je ta rovina. Nyní máme průnik roviny a kuželu, který teď není pod pravým úhlem, resp. rovina není kolmá k ose našeho trojrozměrného kuželu. Pokud se podíváme na průnik roviny a kuželu, v příštích videích, nikoliv v Algebře 2, budeme řešit průniky trojrozměrných objektů a dokazovat, jak skutečně vypadají. Vyjde vám rovnice, kterou vám ukážu zanedlouho. Průnik bude vypadat nějak takto. Myslím, že teď už si ho představíte. Vypadal by asi takhle. A kdybyste se na něj podívali přímo shora, z úplného nadhledu, vypadal by asi to, co jsem tady nakreslil fialově, vypadal by takto. Nenakreslil jsem to dobře. Byla by to elipsa. Víte, jak vypadá elipsa. A kdybych to natočil na druhou stranu, elipsa by byla nakloněná naopak. To nám dává představu, proč jsou tyto obojí kuželosečky. A nyní něco zajímavého. Pokud nakloníme rovinu ještě víc, až tak, že ji, řekněme, nakláníme kolem tohoto bodu, nyní je naše rovina... Uvidíme jak to půjde. Je to hezké cvičení na kreslení v třídimenzionálním prostoru. Řekněme, že vypadá takto. Chci, aby vedla tudy. Toto je třídimenzionální rovina. Kreslím ji takovou, aby protla pouze tuto spodní část kuželu a byla rovnoběžná se stěnou horního kužele. V tomto případě se průnik roviny a kužele nachází přímo v tomto bodě. Můžete vidět, že nakláním rovinu okolo tohoto bodu, v průniku roviny a kužele. Nyní bude průnik vypadat nějak takto. Vypadal by asi tak. A pokračoval by směrem dolů. Takže když to nakreslím, získáme následující. Kdybych se díval na rovinu shora a chtěl ji nakreslit, tak získáme parabolu. To je zajímavé. Když trošku nakláníme, počínaje kružnicí nakloníme více, získáme elipsu. Získáváme víc a víc zešikmenou elipsu. A od určitého místa elipsa se stává čím dál více šikmější. Najednou se objeví, když je rovina přesně rovnoběžná se stěnou kuželu. Nyní to udělám velmi neexaktně, ale chci, abyste měli povědomí. Objeví se tu a je to parabola. Takže vidíte parabolu. To je to spojení. Parabola se objeví, pokud se jedna část elipsy dostane přes okraj a máme parabolu. A pak, pokud pokračujeme s nakláněním, použiji jinou barvu, protne rovina obě strany kuželu. Schválně jak mi to vyjde... Pokud je toto má nová rovina... Jej. To stačí. Pokud naše rovina vypadá takto, a já vím, že teď je to těžké, a chceme znát průnik roviny a kužele, této zelené a kužele, měl bych to překreslit, ale snad to pro vás není moc nepřehledné, průnik vypadá právě takto. Protne spodek kužele a také vršek kužele tady. A z toho nám vyjde něco jako tohle. Tady máme průnik roviny a spodku kužele. A tady bude průnik roviny a vršku. Opět, tato rovina pokračuje neomezeně všemi směry. Takže tady je základní přehled kuželoseček a důvod, proč jsou tak nazývány. Dejte mi vědět, zda to nebylo moc matoucí, udělám další video, kde vše překreslím úhledněji. Možná zkusím nějakou fajn 3D aplikaci, která to zvládne lépe. Toto je důvod, proč se jim říká kuželosečky a spojitost mezi nimi. A bude to trochu více matematické v dalších videích. Ale v dalším videu, když už víte, co jsou zač, a proč se jim tak říká, budu mluvit o jejich předpisech a o tom, jak je rozpoznat. A jak na základě předpisu nakreslit graf dané kuželosečky. Těším se v dalším videu.
video