Kuželosečky
Přihlásit se
Kuželosečky (6/13) · 4:20

Graf kružnice zadané obecnou rovnicí Na tomto příkladu využijeme vše, co jsme se dosud o kružnicích naučili. Navíc budeme muset zopakovat takzvanou úpravu na čtverec.

Navazuje na Kruhy a kružnice.
Máme narýsovat kružnici. A máme k dispozici tuhle bláznivě vypadající rovnici. Mohli bychom ji narýsovat tady. K narýsování kružnice potřebujeme znát pozici středu a také znát její poloměr. Schválně jestli to půjde změnit. A musíme znát poloměr. Takže to potřebujeme upravit do takové formy, odkud zjistíme střed kružnice i poloměr. Na chvíli přepnu z rýsovacího okna a podíváme se na to. Tady to je ta rovnice. A co potřebujeme udělat, je to, že dokončíme mocniny týkající se x, a taktéž mocniny obsahující y, abychom získali tvar, ze kterého vše poznáme. Nejprve vezměme všechny výrazy s x. Máme x na druhou a 4x na levé straně. Takže to mohu přepsat na x na druhou plus 4x. Dám okolo ještě závorky, protože budu chtít dokončit čtverec. A pak tu jsou výrazy s y. Zakroužkuji je barvou... červená je dost podobná fialové. Zakroužkuji je modrou. y na druhou a -4y. Takže máme y na druhou minus 4y. Nakonec tu je -17. A to označím neutrální barvou. Takže -17 a rovná se 0. Co bych nyní chtěl, je dokončit každý z těch fialových výrazů na perfektní čtverec. Tak jak to udělat? Toto by byl perfektní čtverec, pokud vezmeme polovinu 4 a umocníme ji. Pokud tady připíšu 4, potom celý tento výraz bude roven (x plus 2) na druhou. A dá se to i ověřit zkouškou, chcete-li. Pokud chcete připomenout, jak doplnit na čtverec, na Khan Academy je spousta videí, jak na to. Udělali jsme jen to, že jsme vzali půlku tohoto koeficientu, a potom umocnili na 4. Polovina z 4 je 2, umocněním vzniklo 4. Vycházíme z myšlenky, že pokud vezmeme x plus 2 a umocníme to, vyjde x na druhou plus 2 krát součin 2 a x plus 2 na druhou. Jenže my si sem nemůžeme jen tak přihodit 4. Předtím to byla rovnice, takže přidáním 4 už dále neplatí rovnost. Pokud chceme zachovat rovnost, musíme přidat 4 i na druhou stranu rovnice. Nyní proveďme totéž s y. Polovina tohohle koeficientu je -2. Když ho umocníme, vyjde nám 4. Nelze to zas provádět pouze na levé straně. Musíme totéž provést i na pravé straně rovnice. Takže z modré části máme (y minus 2) na druhou. A samozřejmě také minus 17. Ale proč také rovnou nepřičíst 17 k oběma stranám, abychom se toho nalevo zbavili? Přičtěme 17 nalevo i napravo. Tedy nalevo nám zbývají pouze tyto dva výrazy. A napravo máme 4 plus 4 plus 17. Což je 8 plus 17, dohromady 25. Tohle už je tvar, který poznáváme. Když máme tvar (x minus a) na druhou plus (y minus b) na druhou se rovná r na druhou, víme, že středem je bod o souřadnicích a, b, bod, který obě závorky vynuluje. A tedy poloměr bude r. Když se podíváme sem, co je naše a? Tady si musíme dát pozor. Není to 2. Je to -2. x minus -2 se rovná 2. Takže x-ová souřadnice našeho středu bude -2, zatímco y-ová souřadnice středu bude 2. Nezapomeňte, zajímá nás hodnota x, která tohle vynuluje. A hodnota y, která vytvoří zase 0 tady. Takže střed leží v [-2, 2]. A tohle je poloměr na druhou. Proto se poloměr rovná 5. Vraťme se ke cvičení a zakresleme si to. Tady je [-2, 2]. To je náš střed, [-2, 2]. Přesně tady. x je -2, y je 2. A poloměr je 5. Tak se podívejme, to je 1, 2, 3, 4, 5. Takže by to mělo být ještě o trošku širší než takhle. Mám problém s perem. Tady to je. 1, 2, 3, 4, 5. Pojďme si to zkontrolovat. Máme to správně.
video