Kuželosečky
Přihlásit se
Kuželosečky (8/13) · 9:48

Rovnice paraboly Nejdříve si zopakujeme pojmy ohnisko a řídící přímka paraboly. Následně si pomocí těchto parametrů odvodíme rovnici paraboly.

Navazuje na Kruhy a kružnice.
To, co jsem se tady pokusil nakreslit žlutě, je parabola. A jak jste viděli v předešlém videu, parabola je definována jako množina bodů, které jsou stejně vzdáleny od bodu jako od přímky. Tento bod se jmenuje ohnisko paraboly, přímka se nazývá řídící přímka paraboly. V tomto videu bych chtěl použít trochu výpočtů na základě těchto definovaných prvků. Rád bych, na základě daných vlastností a zadaného ohniska v bodě ‚x‘ rovná se ‚a‘, ‚y‘ rovná se ‚b‘, a řídící přímky ‚y‘ rovná se ‚k‘, vyřešil, jaká ve skutečnosti bude rovnice této paraboly. Bude založená na ‚a‘, ‚b‘ a ‚k‘, tak pojďme na to. Zvolme si libovolný bod paraboly. Řekněme, že to bude tento. Jeho x-ová souřadnice je ‚x‘, y-ová souřadnice je ‚y‘, a podle definice, aby toto byla parabola, musí být stejně vzdálen od ohniska i řídící přímky, takže co to znamená? To znamená, že vzdálenost od řídící přímky, kterou máme tady modrou, musí být stejná jako vzdálenost od ohniska, které máme fialově. A když měříme vzdálenost od řídící přímky, doslova jenom spouštíme kolmici. Určitě se dá říci, že to bude nejkratší vzdálenost k přímce, ale pokud jde o ohnisko, tady je to přímka pod jiným úhlem, takže nejspíš použijme vzorec pro vzdálenost, což je prostě Pythagorova věta. Tak do toho. Tato vzdálenost musí být stejná jako tahle. Takže jaká je tato modrá vzdálenost? No to bude přesně naše změna v ‚y‘. Bude to ‚y‘ minus ‚k‘. To je ta vzdálenost. Bude to ‚y‘ minus ‚k‘. Nyní si musíme dát pozor. Tak, jak jsem to nakreslil, ‚y‘ je větší než ‚k‘, tady nám vyjde kladná hodnota a my potřebujeme nezápornou hodnotu, protože mluvíme o vzdálenosti. Také ale můžeme mít parabolu, kde y-ová souřadnice ohniska je níže než y-ová souřadnice přímky, v tomto případě vyjde záporná hodnota. Tedy doopravdy chceme absolutní hodnotu tohoto výrazu, nebo také ji můžeme umocnit a následně odmocnit, vyjde kladný odmocněnec, který je roven absolutní hodnotě (‚y‘ minus ‚k‘). Takže to je vzdálenost tady a díky definici paraboly aby bod [x, y] patřil na parabolu, vzdálenost musí být stejná jako vzdálenost z bodu [x, y] do [a, b], tedy ohniska. Takže kolik to bude? Použijeme vzorec pro vzdálenost, nebo vlastně Pythagorovu větu. Bude to změna v ‚x‘, takže ‚x‘ minus ‚a‘, to celé na druhou, plus změna v ‚y‘, tedy ‚y‘ minus ‚b‘ to celé na druhou. A to celé je pod odmocninou, odmocnina z celého tohoto výrazu. Nyní už zde vidíme rovnici paraboly. Nevypadá tak, je trošku zmatečná. Ale je to rovnice paraboly, a abych vám to dokázal, musíme tohle zjednodušit a pokud máte nějaký nápad, doporučuji zkusit si to sami, je to jen troška počítání, ale není to nijak těžké. Vyjde vám rovnice paraboly, kterou možná poznáte a bude obsahovat souřadnice ohniska [a, b] a řídící přímky, ‚y‘ rovná se ‚k‘, tak do toho. Takže nejlehčí čím se dá začít, je umocnit obě strany, takže se zbavíme odmocnin. Pokud umocníme obě strany, na levé straně vyjde ‚y‘ minus ‚k‘ to celé na druhou, rovná se ‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou plus ‚y‘ minus ‚b‘ to celé na druhou. Jasné? Co bych teď chtěl, je pouhé ‚y‘ na levé straně, a nějaká ‚x‘, ‚a‘, ‚b‘ a ‚k‘ na pravé. První, co bych mohl udělat, je umocnit závorky, které obsahují ‚y‘, tedy tahle modrá nalevo se bude rovnat ‚y‘ na druhou minus 2yk plus ‚k‘ na druhou. A to se bude rovnat, první závorku nechám být, pořád bude ‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou, a nyní umocním druhou. Vyberu si barvu, rozepíšu závorku zeleně, tedy ‚y‘ na druhou minus 2yb plus ‚b‘ na druhou. Vše co jsem udělal, že jsem násobil (‚y‘ minus 1) tímtéž. Schválně jestli to teď zvládneme zjednodušit. Takže máme ‚y‘ na druhou vlevo, máme ‚y‘ na druhou vpravo, proto odečteme ‚y‘ na druhou od obou stran rovnice, to lze provést. To nám trochu zjednoduší rovnici, a nyní se podíváme, co se dá dělat dál. Pojďme dostat ‚k‘ na druhou na tuto stranu, takže odečteme ‚k‘ na druhou od obou stran rovnice, odečítám ‚k‘ od obou stran, takže nám nalevo zmizí a nyní přičteme 2yb k oběma stranám, abychom měli všechna ‚y‘ nalevo. Tedy plus 2yb, potom vyjde 2yb na levé straně, plus 2yb. Čemu se to bude rovnat? Tady už se střetávám s grafem, takže si nechám trochu místa ještě tady. Na levé straně, co to tam máme? Je tu 2yb minus 2yk, což je totéž, jako… Nechte mě to napsat. Bude to 2y… Vlastně to chci mít zeleně, proč by ne, že? Bude to… Nebo radši zkusím novou barvu. To bude rovno 2yb minus 2yk. Dá se vytknout 2y, takže vyjde 2y krát (‚b‘ minus ‚k‘). Tak pojďme na to. Takže to přepíšeme jako 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘) krát ‚y‘, poté co vytkneme 2 a ‚y‘. To je naše levá strana, tady tenhle kousek. Tyhle věci zmizí. Nyní se podíváme na pravou stranu, slíbil jsem vám trochu úprav výrazů, a nyní vidíte, že slib jsem dodržel. Na pravé straně máme ‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou, a koukněme, tyto výrazy se vyrušily a zbývá nám ‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou. Takže tyto dvě části budou ‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou, plus ‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou. Jak jsem říkal, chceme mít vlevo pouze ‚y‘, vydělme proto všechno 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘). Takže vydělíme všechno 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘), A já vlastně chci tohle vše vydělit tím výrazem, 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘). Nyní samozřejmě se nám na levé straně tohle všechno pokrátí, zbude pouze ‚y‘ a tedy už máme ‚y‘ rovná se, ‚y‘ rovná se 1 lomeno 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘) a všimněte si, že ‚b‘ minus ‚k‘ je rozdíl mezi y-ovou souřadnicí ohniska a y-ovou souřadnicí řídící přímky ‚y‘ se rovná ‚k‘. Takže máme 1 lomeno 2 krát tohle, krát ‚x‘ minus ‚a‘ to celé na druhou. Takže pokud víte, kolik je ‚b‘ minus ‚k‘, pak se to zjednoduší na nějaké číslo, nějaké číslo, které bude násobeno (‚x‘ minus ‚a‘) na druhou, takže snad už tohle začíná vypadat jako parabola, které si pamatujete z dřívějška. Pokud si teda nějaké pamatujete. Bezva, podívejme se ještě, zda nemůžeme zjednodušit výraz napravo, a možná si všimnete ‚b‘ na druhou minus ‚k‘ na druhou, cože je rozdíl druhých mocnin, což je stejné jako (‚b‘ plus ‚k‘) krát (‚b‘ minus ‚k‘), takže (‚b‘ minus ‚k‘) se vykrátí a zbude nám pouze a jedině, to by si zasloužilo potlesk, zbude nám pouze 1 lomeno 2 krát (‚b‘ plus ‚k‘). Tady to máme. Podle ohniska, zadaného v [a, b] a řídící přímky ‚y‘ se rovná ‚k‘ víme, jaká bude rovnice této paraboly. Takže například, pokud budeme mít ohnisko řekněme v bodě [1, 2] a řídící přímku takovou, že ‚y‘ se rovná, já nevím třeba -1, jaká bude rovnice této paraboly? Bude to ‚y‘ se rovná 1 lomeno 2 krát (‚b‘ minus ‚k‘), takže 2 minus -1, to je totéž jako 2+1, prostě 3, 2 minus -1 je 3 krát (‚x‘ minus 1) na druhou, plus 1 lomeno 2 krát (‚b‘ plus ‚k‘). 2 plus -1 je 1, takže 1, tedy co bude tady? Vyjde nám ‚y‘ se rovná 1 lomeno 6 krát (‚x‘ minus 1) na druhou plus 1 lomeno 2. Tady to máme. To je hledaná parabola s ohniskem v [1, 2] a řídící přímkou ‚y‘ rovná se -1. Fascinující.
video